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Contribuciones a la Wikipedia en español para el proyecto MATDIN. Aquí se empezarán a elaborar las páginas que van asociadas al trabajo escogido en mi cuaderno de bitácora.

Variables ligadas y variables libres

En las matemáticas y en otras disciplinas que involucran lenguajes formales, incluidas la lógica matemática y la informática, una variable libre es una notación (un símbolo) que especifica lugares en una expresión donde una sustitución puede producirse y no es un parámetro de esta o cualquier expresión contenedora. Algunos libros antiguos usan términos como variable real y variable aparente para referirse a variables libres y variables ligadas, respectivamente. La idea es relacionar a un marcador de posición (un símbolo que después será reemplazado por algún valor) o un carácter comodín que representa un símbolo no especificado.

En programación, el término variable libre hace referencia a variables usadas en una función que no son variables locales ni parámetros de esa función. El término variable no local es a menudo un sinónimo en este contexto.

Una variable ligada es una variable que anteriormente estaba libre, pero que ha sido ligada a un valor específico o conjunto de valores llamado dominio de discurso o universo. Por ejemplo, la variable x se convierte en una variable ligada cuando escribimos:

Para todo x, (x + 1)² = x² + 2x + 1.

o

Existe un x tal que x² = 2.

En cualquiera de estas proposiciones, no importa lógicamente si se usa x o cualquier otra letra. Sin embargo, puede ser confuso volver a usar la misma letra en otra parte de alguna proposición compuesta. Es decir, las variables libres se pueden convertir en ligadas y, en cierto sentido, dejan de estar disponibles como valores sustitutos para otros valores en la creación de formulas.

El término "variable ficticia" se utiliza también, a veces, para una variable ligada (más común en matemáticas generales que en informática), pero ese uso puede crear una ambigüedad con la definición de variables ficticias en el análisis de regresión.

Ejemplos

Antes de empezar a establecer una definición precisa de variable libre y variable ligada, aquí hay algunos ejemplos que quizás aclaren estos dos conceptos más de lo que lo haría la definición.

En la expresión:

$\sum _{k=1}^{10}f(k,n),$

n es la variable libre y k es la variable ligada; consecuentemente el valor de esta expresión depende de el valor de n, pero no hay nada llamado k de lo que pueda depender.

En la expresión:

$\int _{0}^{\infty }x^{y-1}e^{-x}\,dx,$

y es la variable libre y x es la variable ligada; consecuentemente el valor de esta expresión depende de el valor de y, pero no hay nada llamado x de lo que pueda depender.

En la expresión:

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},$

x es la variable libre y h es la variable ligada; consecuentemente el valor de esta expresión depende de el valor de x, pero no hay nada llamado h de lo que pueda depender.

En la expresión:

$\forall x\ \exists y\ {\Big [}\varphi (x,y,z){\Big ]},$

z es la variable libre y x e y son las variables ligadas, asociadas con cuantificadores lógicos; en consecuencia, el valor lógico de esta expresión depende del valor de z, pero no hay nada llamado x o y de lo que pueda depender.

Más ampliamente, en la mayoría de las demostraciones, usamos variables ligadas. En la siguiente demostración se prueba que cada cuadrado de un número entero par es divisible por $4$

Sea $n$un numero entero par positivo. Entonces hay un numero entero $k$ tal que $n=2k$. Dado que $n^{2}=4k^{2}$, tenemos $n^{2}$ divisible por $4$.

no solo k sino tambien n han sido usadas como variables ligadas durante toda la demostración.

Operadores de unión variable

Los siguientes

$\sum _{x\in S}\quad \quad \prod _{x\in S}\quad \quad \int _{0}^{\infty }\cdots \,dx\quad \quad \lim _{x\to 0}\quad \quad \forall x\quad \quad \exists x$

son algunos operadores de variables comunes. Cada uno de ellos vincula la variable x para un conjunto S.

Tenga en cuenta que muchos de estos son operadores que actúan sobre funciones de variables ligadas. En contextos mas complicados, estas notaciones pueden volverse incomodas y confusas. Puede ser útil cambiar a notaciones que hagan explicito el enlace, como

$\sum _{1,\ldots ,10}\left(k\mapsto f(k,n)\right)$

para sumas o

$D\left(x\mapsto x^{2}+2x+1\right)$

para diferenciaciones.

Explicación formal

Árbol que resume la sintaxis de la expresión $\forall x\,((\exists y\,A(x))\vee B(z))$

Los mecanismos de vinculación de variables ocurren en diferentes contextos en matemáticas, lógica e informática. En todos los casos, sin embargo, son propiedades puramente sintácticas de expresiones y variables en ellas. Para esta sección, podemos resumir la sintaxis identificando una expresión con un árbol cuyos nodos hojas son variables, constantes, funciones constantes o predicados constantes y, aquellos que no son nodos hoja, como operadores lógicos. Esta expresión puede entonces ser determinada haciendo un recorrido en el orden del árbol. Los operadores de vinculación de variables son operadores lógicos que se encuentran en casi todos los lenguajes formales. Un operador de vinculación Q toma dos argumentos: una variable v y una expresión P y, cuando se aplica a sus argumentos, se produce una nueva expresión Q(v, P). El significado de los operadores vinculantes es proporcionado por la semántica del lenguaje y no concierne aquí.

La vinculación de variable relaciona tres cosas: una variable "v", una ubicación "a" para esa variable en una expresión y un nodo "n" no hoja del árbol de la forma Q(v,P). Nota: definimos la ubicación en una expresión como el nodo hoja en un árbol sintáctico. La vinculación de la variable ocurre cuando esta ubicación esta por debajo del nodo n.

En el cálculo lambda, x es una variable ligada en el término M = λx. T es una variable libre en el término T. Decimos que x es una variable ligada en M y libre en T. Si T contiene un subtérmino λx. U entonces x es un religado en este término. Se dice que esta unión interna anidada de x "sombrea" la unión externa. Las apariciones dexenUson apariciones libres de la nuevax.

Las variables ligadas al nivel superior de un programa son, técnicamente, variables libres dentro de los términos a los que están ligadas, pero a menudo se tratan especialmente porque pueden ser compiladas como direcciones fijas. De manera similar, un identificados vinculado a una función recursiva es una variable libre dentro de su propio cuerpo pero es tratada de manera especial

Un término cerrado es aquel que no contiene variables libres.

Expresiones de funciones

Para dar un ejemplo desde las matemáticas, considere una expresión que define una función

$f=\left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]$

donde t es una expresión. t puede contener alguna, todas o ninguna de las x₁, …, x_n y puede contener otras variables. En este caso decimos que la definición de la función liga las variables x₁, …, x_n.

De esta manera, la expresión de definición de funciones del tipo que se muestra arriba se puede considerar como el operador de vinculación de las variables, análoga a las expresiones lambda del cálculo lambda. Otros operadores vinculantes, como el signo de suma, pueden ser considerados como funciones de orden superior aplicados a una función. Así que, por ejemplo, la expresión

$\sum _{x\in S}{x^{2}}$

puede ser tratada como una notación para

$\sum _{S}{(x\mapsto x^{2})}$

donde$\sum _{S}{f}$ es un operador con dos parámetros— una función de un parámetro, y un conjunto para evaluar esa función. Los otros operadores enumerados anteriormente pueden ser expresados de maneras similares; por ejemplo, el cuantificador universal $\forall x\in S\ P(x)$ se puede considerar como un operador que evalua la conjunción lógica de la función P con valor booleano aplicado sobre el conjunto (posiblemente infinito) S.

Referencias

Este artículo se ha obtenido de la traducción directa de su artículo de la Wikipedia en inglés.

5040 (número)

5040
Cardinal	Cinco mil cuarenta
Ordinal	Cinco mil cuadragésimo,-a
Factorización	5040 = 24 x 32 x 5 x 7
Sistemas de numeración
Romana	MMMMMXL
Sistema binario	1001110110000
Sistema octal	11660
Sistema hexadecimal	13B0
Lista de números

5040 es un factorial (7!), un número altamente compuesto, un número altamente compuesto superior, un número abundante, altamente abundante, super abundante, colosalmente abundante y el número de permutaciones de 4 elementos de 10 opciones (10 x 9 x 8 x 7 = 5040). También es uno menos que un cuadrado, lo que hace (7,71) un par de números Brown.

Filosofía

Platón menciona en sus leyes que 5040 es un número conveniente para dividir muchas cosas (incluidos los ciudadanos y la tierra de una ciudad-estado o polis), en partes menores, lo que le convierte en el numero ideal para el número ciudadanos (cabezas de familia) que forman una polis. Él comenta que este numero puede ser dividido por todos los números naturales desde 1 hasta 12 con la única excepción del 11 (sin embargo, nos es el numero mas pequeño que tiene esta propiedad; 2520 también lo es). Rectifica este defecto sugiriendo que se podrían restar dos familias familias del conjunto de ciudadanos para producir el numero 5038, que es divisible por 11. Platón también se dio cuenta de que 5040 se puede dividir por 12 dos veces. De hecho, la reiterada insistencia de Platón en el uso de 5040 para diversos propósitos estatales es tan evidente que Benjamin Jowett, en la introducción a su traducción de Leyes escribió: "Platón, escribiendo bajo influencias Pitagóricas, parece haber supuesto realmente que el bienestar de la ciudadanía dependía casi tanto del número 5040 como de la justicia y la moderación.

Jean-Pierre Kahane ha sugerido que el uso de Platón del número 5040 marca la primera aparición del concepto de un número altamente compuesto, un número con más divisores que cualquier número más pequeño.

Número teórico

Si $\sigma (n)$ es la función divisor y $\gamma$ es la constante de Euler–Mascheroni, entonces 5040 es el más grande de los números conocidos (sucesión A067698 en OEIS) por el cual se cumple esta desigualdad:

$\sigma (n)\geq e^{\gamma }n\log \log n$.

Esto es algo inusual, ya que en el límite tenemos:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.$

Guy Robin demostró en 1984 que la desigualdad falla para todos los números más grandes si y solo si la hipótesis de Riemann es cierta.

Notas interesantes

• 5040 tiene exactamente 60 divisores, contando él mismo y 1.
• 5040 es el factorial más grande (7! = 5040) que también es un número altamente compuesto. ¡Todos los factoriales menores de 8! = 40320 son altamente compuestos.
• 5040 es la suma de 42 primos consecutivos (23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 +163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229).

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «5040 number» de la Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.
• Mathworld article on Plato's numbers

Clase Combinatoria

En matemáticas, una clase combinatoria es un conjunto contable de objetos matemáticos, junto con una función de tamaño que asigna cada objeto a un número entero no negativo, de modo que hay una cantidad finita de objetos de cada tamaño.​​

Conteo de secuencias e isomorfismo

La secuencia de conteo de una clase combinatoria es la secuencia del número de elementos de tamaño i para i = 0, 1, 2, ...; también puede describirse como una función generadora que tiene estos números como coeficientes. Las secuencias de conteo de clases combinatorias son el principal tema de estudio de la combinatoria enumerativa. Se dice que dos clases combinatorias son isomórficas si tienen el mismo número de objetos de cada tamaño, o de manera equivalente, si sus secuencias de conteo son las mismas ​ . Con frecuencia, una vez que se sabe que dos clases combinatorias son isomórficas, se busca una prueba biyectiva de esta equivalencia; una prueba de este tipo puede interpretarse en el sentido de que los objetos de las dos clases isomorfas son criptomórficos entre sí.

Por ejemplo, las triangulaciones de polígonos regulares (con un tamaño dado por el número de lados del polígono y una elección fija de polígono a triangular para cada tamaño) y el conjunto de árboles planos binarios sin raíz (hasta el isomorfismo del gráfico, con un el orden de las hojas, y con el tamaño dado por el número de hojas) se cuentan ambos por los números de Catalan, por lo que forman clases combinatorias isomorfas. Un isomorfismo biyectivo en este caso viene dado por la dualidad gráfica plana: una triangulación se puede transformar biyectivamente en un árbol con una hoja para cada borde de polígono, un nodo interno para cada triángulo y un borde para cada dos bordes de polígono o triángulos adyacentes. el uno al otro. ​

Combinatoria analítica

La teoría de las especies combinatorias y su extensión a la combinatoria analítica proporcionan un lenguaje para describir muchas clases combinatorias importantes, construir nuevas clases a partir de combinaciones de las previamente definidas y derivar automáticamente sus secuencias de conteo ​. Por ejemplo, dos clases combinatorias pueden combinarse por unión disjunta, o por una construcción de producto cartesiano en la que los objetos son pares ordenados de un objeto de cada una de dos clases, y la función de tamaño es la suma de los tamaños de cada objeto en el par. Estas operaciones forman, respectivamente, las operaciones de suma y multiplicación de un semianillo en la familia de (clases de equivalencia de isomorfismo de) clases combinatorias, en la que el objeto cero es la clase combinatoria vacía, y la unidad es la clase cuyo único objeto es el conjunto vacío. ​

Patrones de permutación

En el estudio de patrones de permutación, una clase combinatoria de clases de permutación, enumeradas por longitud de permutación, se denomina clase Wilf ​. El estudio de enumeraciones de clases de permutación específicas ha revelado equivalencias inesperadas en el recuento de secuencias de clases de permutación aparentemente no relacionadas.

Enlaces Externos

Esta obra contiene una traducción derivada de «Combinatorial Class» de la Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Principios Combinatorios

Al probar los resultados en combinatoria, se reconocen y utilizan comúnmente varias reglas combinatorias o principios combinatorios útiles.

La regla de la suma, la regla del producto y el principio de inclusión-exclusión se utilizan a menudo con fines enumerativos. Las pruebas biyectivas se utilizan para demostrar que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. El principio de casillero a menudo determina la existencia de algo o se usa para determinar el número mínimo o máximo de algo en un contexto discreto.

Muchas identidades combinatorias surgen de métodos de conteo doble o del método del elemento distinguido. La generación de funciones y relaciones de recurrencia son herramientas poderosas que pueden usarse para manipular secuencias y pueden describir, si no resolver, muchas situaciones combinatorias.

Regla de la suma

La regla de la suma es un principio intuitivo que establece que si hay posibles resultados para un evento (o formas de hacer algo) yb posibles resultados para otro evento (o formas de hacer otra cosa), y los dos eventos no pueden ocurrir a la vez ( o las dos cosas no se pueden hacer ambas), entonces hay un total de posibles resultados para los eventos (o posibles formas totales de hacer una de las cosas). Más formalmente, la suma de los tamaños de dos conjuntos disjuntos es igual al tamaño de su unión.

Regla del producto

La regla del producto es otro principio intuitivo que establece que si hay a formas de hacer algo y b formas de hacer otra cosa, entonces hay a · b formas de hacer ambas cosas.

Principio de inclusión-exclusión

Inclusión-exclusión ilustrada para tres conjuntos

El principio de inclusión-exclusión relaciona el tamaño de la unión de múltiples conjuntos, el tamaño de cada conjunto y el tamaño de cada posible intersección de los conjuntos. El ejemplo más pequeño es cuando hay dos conjuntos: el número de elementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos en A y B, menos el número de elementos en su intersección.

Generalmente, de acuerdo con este principio, si A₁, ..., A_n son conjuntos finitos, entonces

${\begin{aligned}{\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr |}&{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{i,j\,:\,1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&{}\qquad +\sum _{i,j,k\,:\,1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}$

Regla de la división

Afirma que hay n / d formas de hacer una tarea si se puede hacer mediante un procedimiento que se puede realizar de n formas, y para todas las formas w, exactamente d de las n formas corresponden a la forma w.

Prueba Biyectiva

Las demostraciones biyectivas prueban que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos al encontrar una función biyectiva (correspondencia uno a uno) de un conjunto al otro.

Cuenta doble

El conteo doble es una técnica que equipara dos expresiones que cuentan el tamaño de un conjunto de dos maneras.

Principio del casillero

El principio del casillero establece que si cada artículo se coloca en una de las cajas b, donde a> b, entonces una de las cajas contiene más de un artículo. Usando este se puede, por ejemplo, demostrar la existencia de algún elemento en un conjunto con algunas propiedades específicas.

Método de elemento distinguido

El método del elemento distinguido destaca un "elemento distinguido" de un conjunto para probar algún resultado.

Función generadora

Las funciones generadoras se pueden considerar como polinomios con infinitos términos cuyos coeficientes corresponden a los términos de una secuencia. Esta nueva representación de la secuencia abre nuevos métodos para encontrar identidades y formas cerradas pertenecientes a ciertas secuencias. La función generadora (ordinaria) de una secuencia a_n es

$G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$

Relación de recurrencia

Una relación de recurrencia define cada término de una secuencia en términos de los términos precedentes. Las relaciones de recurrencia pueden conducir a propiedades previamente desconocidas de una secuencia, pero generalmente son más deseables las expresiones de forma cerrada para los términos de una secuencia.

Referencias

• J. H. van Lint and R. M. Wilson (2001), A Course in Combinatorics (Paperback), 2nd edition, Cambridge University Press. ISBN 0-521-00601-5

Enlaces externos

Esta obra contiene una traducción derivada de «Combinatorial principles» de la Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Lista de sucesiones de la OEIS

Esta es una lista de secuencias enteras notables.

General

OEIS link	Name	First elements	Short description
OEIS sequence A000002	Secuencia de Kolakoski	{1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, ...}	El enésimo término describe la duración de la enésima ejecución
OEIS sequence A000010	Función totient de Euler φ(n)	{1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, ...}	φ (n) es el número de enteros positivos no mayores que n que son primos a n.
OEIS sequence A000032	Números de Lucas L(n)	{2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...}	L(n) = L(n − 1) + L(n − 2) paran ≥ 2, con L(0) = 2 yL(1) = 1.
OEIS sequence A000040	Números primos pn	{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}	Los números primos pn, con n ≥ 1.
OEIS sequence A000041	Números de partición Pn	{1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, ...}	Los números de partición, número de desgloses aditivos de n.
OEIS sequence A000045	Números de Fibonacci F(n)	{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}	F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) para n ≥ 2, con F(0) = 0 y F(1) = 1.
OEIS sequence A000058	Secuencia de Sylvester	{2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443, ...}	a(n + 1) = a(n)⋅a(n − 1)⋅ ⋯ ⋅a(0) + 1 = a(n)2 − a(n) + 1 para n ≥ 1, con a(0) = 2.
OEIS sequence A000073	Números de Tribonacci	{0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, ...}	T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + T(n − 3) para n ≥ 3, con T(0) = 0 y T(1) = T(2) = 1.
OEIS sequence A000079	Potencias de 2	{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...}	Potencias de 2: 2n para n ≥ 0
OEIS sequence A000105	Polinomios	{1, 1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, ...}	El número de polinomios libres con n células.
OEIS sequence A000108	Números de Catalan Cn	{1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, ...}	$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!\,n!}}=\prod \limits _{k=2}^{n}{\frac {n+k}{k}},\quad n\geq 0.$
OEIS sequence A000110	Números de campana Bn	{1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, ...}	Bn es el número de particiones de un conjunto con n elementos.
OEIS sequence A000111	Números en zigzag de Euler En	{1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, ...}	En es el número de extensiones lineales del poset "zig-zag".
OEIS sequence A000124	La secuencia del catering perezoso	{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, ...}	El número máximo de piezas que se forman al cortar un panqueque con n cortes.
OEIS sequence A000129	Números Pell Pn	{0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ...}	a(n) = 2a(n − 1) + a(n − 2) para n ≥ 2, con a(0) = 0, a(1) = 1.
OEIS sequence A000142	Factoriales n!	{1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, ...}	n! := 1⋅2⋅3⋅4⋅ ⋯ ⋅n para n ≥ 1, con 0! = 1 (producto vacío).
OEIS sequence A000166	Trastornos	{1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, ...}	Número de permutaciones de n elementos sin puntos fijos.
OEIS sequence A000203	Función divisor σ(n)	{1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, ...}	σ(n) := σ1(n) es la suma de los divisores de un entero positivo n.
OEIS sequence A000215	Números de Fermat Fn	{3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, 340282366920938463463374607431768211457, ...}	Fn = 22n + 1 paran ≥ 0.
OEIS sequence A000238	Poliárboles	{1, 1, 3, 8, 27, 91, 350, 1376, 5743, 24635, 108968, ...}	Número de árboles orientados con n nodos.
OEIS sequence A000396	Números Perfectos	{6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, ...}	n es igual a la suma s(n) = σ(n) − n de los divisores propios de n.
OEIS sequence A000594	Función tau de Ramanujan	{1,−24,252,−1472,4830,−6048,−16744,84480,−113643...}	Valores de la función tau de Ramanujan, τ(n) at n=1, 2, 3, ...
OEIS sequence A000793	Función de Landau	{1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 12, 15, 20, ...}	El mayor orden de permutación de n elementos.
OEIS sequence A000930	Las vacas de Narayana	{1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, ...}	El número de vacas cada año si cada vaca tiene una vaca al año comenzando su cuarto año.
OEIS sequence A000931	Secuencia Padovan	{1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, ...}	P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) para n ≥ 3, con P(0) = P(1) = P(2) = 1.
OEIS sequence A000945	Secuencia Euclid–Mullin	{2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, ...}	a(1) = 2; a(n + 1) es el factor primo más pequeño de a(1) a(2) ⋯ a(n) + 1.
OEIS sequence A000959	Números de la suerte	{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, ...}	Un número natural en un conjunto que se filtra con un tamiz.
OEIS sequence A000961	Potencias primas	{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, ...}	Potencias enteras positivas de números primos
OEIS sequence A000984	Coeficientes binomiales centrales	{1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ...}	${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\text{ para todo }}n\geq 0$, números en el centro de filas pares del triángulo de Pascal
OEIS sequence A001006	Números Motzkin	{1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, ...}	El número de formas de dibujar cualquier número de cuerdas no intersectantes que unen n puntos (etiquetados) en un círculo.
OEIS sequence A001045	Números Jacobsthal	{0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, ...}	a(n) = a(n − 1) + 2a(n − 2) para n ≥ 2, con a(0) = 0, a(1) = 1.
OEIS sequence A001065	Suma de divisores propios s(n)	{0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, ...}	s(n) = σ(n) − n es la suma de los divisores propios del entero positivo n.
OEIS sequence A001190	Números Wedderburn–Etherington	{0, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 46, ...}	El número de árboles con raíz binaria (cada nodo tiene un grado de salida 0 o 2) con n puntos finales (y 2n - 1 nodos en total).
OEIS sequence A001316	Secuencia de Gould	{1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, ...}	Número de entradas impares en la fila n del triángulo de Pascal.
OEIS sequence A001358	Semiprimos	{4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, ...}	Productos de dos números primos, no necesariamente distintos.
OEIS sequence A001462	Secuencia Golomb	{1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, ...}	a (n) es el número de veces que ocurre n, comenzando con a (1) = 1.
OEIS sequence A001608	Números Perrin Pn	{3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, ...}	P(n) = P(n−2) + P(n−3) para n ≥ 3, con P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2.
OEIS sequence A001855	Número de clasificación	{0, 1, 3, 5, 8, 11, 14, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49 ...}	Se utiliza en el análisis de tipos de comparación.
OEIS sequence A002064	Números Cullen Cn	{1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, 49153, 106497, ...}	Cn = n⋅2n + 1, conn ≥ 0.
OEIS sequence A002110	Primorials pn#	{1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, ...}	pn#, el producto de los primeros n primos.
OEIS sequence A002182	Números altamente compuestos	{1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ...}	Un entero positivo con más divisores que cualquier entero positivo más pequeño.
OEIS sequence A002201	Números superiores altamente compuestos	{2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, ...}	Un entero positivo n para el que hay un e> 0 tal que d(n)/ne ≥ d(k)/ke para todo k > 1.
OEIS sequence A002378	Números Pronic	{0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, ...}	2t(n) = n (n + 1), con n ≥ 0.
OEIS sequence A002559	Números Markov	{1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, ...}	Soluciones enteras positivas de x2 + y2 + z2 = 3xyz.
OEIS sequence A002808	Números compuestos	{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...}	Los números n de la forma xy para x> 1 e y> 1.
OEIS sequence A002858	Números Ulam	{1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, ...}	a (1) = 1; a (2) = 2; para n> 2, a (n) es el número mínimo> a (n - 1) que es una suma única de dos términos anteriores distintos; semiperfecto.
OEIS sequence A002863	Nudos primos	{0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, ...}	El número de nudos primos con n cruces.
OEIS sequence A002997	Números Carmichael	{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, ...}	Números compuestos n tal que an − 1 ≡ 1 (mod n) si a es primo de n.
OEIS sequence A003261	Números Woodall	{1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 4607, ...}	n⋅2n − 1, con n ≥ 1.
OEIS sequence A003601	Números aritméticos	{1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, ...}	Un número entero para el que el promedio de sus divisores positivos también es un número entero.
OEIS sequence A004490	Números colosalmente abundantes	{2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, ...}	Un número n es colosalmente abundante si hay un ε> 0 tal que para todo k> 1, ${\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geq {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}},$ donde σ denota la suma de la función divisora.
OEIS sequence A005044	Secuencia de Alcuino	{0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, ...}	Número de triángulos con lados enteros y perímetro n.
OEIS sequence A005100	Números deficientes	{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, ...}	Enteros positivos n tal que σ(n) < 2n.
OEIS sequence A005101	Números abundantes	{12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, ...}	Enteros positivos n tal que σ(n) > 2n.
OEIS sequence A005114	Números intocables	{2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, ...}	No se puede expresar como la suma de todos los divisores propios de un entero positivo.
OEIS sequence A005132	Secuencia de Recamán	{0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, ...}	"reste si es posible, de lo contrario sume": a (0) = 0; para n> 0, a (n) = a (n - 1) - n si ese número es positivo y no está ya en la secuencia, de lo contrario a (n) = a (n - 1) + n, sea o no ese número ya está en la secuencia.
OEIS sequence A005150	Secuencia de mirar y decir	{1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, 31131211131221, 13211311123113112211, ...}	A = 'frecuencia' seguida de una indicación de 'dígitos'.
OEIS sequence A005153	Números prácticos	{1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40...}	Todos los números enteros positivos más pequeños se pueden representar como sumas de factores distintos del número.
OEIS sequence A005165	Factorial alterno	{1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019, ...}	n! - (n-1)! + (n-2)! - ... 1!.
OEIS sequence A005235	Números de la fortuna	{3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, ...}	El entero más pequeño m> 1 tal que pn # + m es un número primo, donde el primorial pn # es el producto de los primeros n números primos.
OEIS sequence A005835	Números semiperfectos	{6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, ...}	Un número natural n que es igual a la suma de todos o algunos de sus divisores propios.
OEIS sequence A006003	Constantes mágicas	{15, 34, 65, 111, 175, 260, ...}	Suma de números en cualquier fila, columna o diagonal de un cuadrado mágico de orden n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....
OEIS sequence A006037	Números pesados	{70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, ...}	Un número natural abundante pero no semiperfecto.
OEIS sequence A006842	Numeradores de secuencia de Farey	{0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, ...}
OEIS sequence A006843	Denominadores de secuencia de Farey	{1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 1, ...}
OEIS sequence A006862	Números euclídeos	{2, 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, ...}	pn# + 1, i.e. 1 + producto de los primeros n primos consecutivos.
OEIS sequence A006886	Números Kaprekar	{1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, ...}	X2 = Abn + B, donde 0 < B < bn y X = A + B.
OEIS sequence A007304	Números Sphenic	{30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, ...}	Productos de 3 primos distintos.
OEIS sequence A007850	Números Giuga	{30, 858, 1722, 66198, 2214408306, …}	Números compuestos de modo que para cada uno de sus distintos factores primos pi tenemos $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$.
OEIS sequence A007947	Radical de un entero	{1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, ...}	El radical de un entero positivo n es el producto de los distintos números primos que dividen n.
OEIS sequence A010060	Secuencia Thue–Morse	{0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ...}
OEIS sequence A014577	Secuencia regular de plegado de papel	{1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, ...}	En cada etapa se inserta una secuencia alterna de unos y ceros entre los términos de la secuencia anterior.
OEIS sequence A016105	Enteros Blum	{21, 33, 57, 69, 77, 93, 129, 133, 141, 161, 177, ...}	Números de la forma pq donde p y q son primos distintos congruentes con 3 (mod 4).
OEIS sequence A018226	Números mágicos	{2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, ...}	Varios nucleones (protones o neutrones) de manera que se organizan en capas completas dentro del núcleo atómico.
OEIS sequence A019279	Números superperfectos	{2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, ...}	Enteros positivos n para que σ2(n) = σ(σ(n)) = 2n.
OEIS sequence A027641	Números Bernoulli Bn	{1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 5, 0, -691, 0, 7, 0, -3617, 0, 43867, 0, ...}
OEIS sequence A034897	Números hiperperfectos	{6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ...}	k-números hiperperfectos, es decir, n para los que se cumple la igualdad n = 1 + k (σ (n) - n - 1).
OEIS sequence A052486	Números de Aquiles	{72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, ...}	Enteros positivos que son poderosos pero imperfectos.
OEIS sequence A054377	Números primarios pseudoperfectos	{2, 6, 42, 1806, 47058, 2214502422, 52495396602, ...}	Satisface una cierta fracción egipcia.
OEIS sequence A059756	Números Erdős–Woods	{16, 22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70, 76, 78, 86, 88, ...}	La longitud de un intervalo de enteros consecutivos con la propiedad de que cada elemento tiene un factor en común con uno de los extremos.
OEIS sequence A076336	Números Sierpinski	{78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, ...}	Impar k para que { k⋅2n + 1 : n ∈ ℕ } conste solo de números compuestos.
OEIS sequence A076337	Números Riesel	{509203, 762701, 777149, 790841, 992077, ...}	Impar k para que { k⋅2n − 1 : n ∈ ℕ } conste solo de números compuestos.
OEIS sequence A086747	Secuencia Baum–Sweet	{1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, ...}	a (n) = 1 si la representación binaria de n no contiene ningún bloque de ceros consecutivos de longitud impar; de lo contrario a (n) = 0.
OEIS sequence A090822	Secuencia de Gijswijt	{1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, ...}	El enésimo término cuenta el número máximo de bloques repetidos al final de la subsecuencia de 1 a n-1
OEIS sequence A093112	Números Carol	{−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, ...}	$a(n)=(2^{n}-1)^{2}-2.$
OEIS sequence A094683	Secuencia Juggler	{0, 1, 1, 5, 2, 11, 2, 18, 2, 27, ...}	Si n ≡ 0 (mod 2) entonces ⌊√n⌋si no⌊n3/2⌋.
OEIS sequence A097942	Números muy sensibles	{1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, ...}	Cada número k en esta lista tiene más soluciones para la ecuación φ (x) = k que cualquier k precedente.
OEIS sequence A122045	Números de Euler	{1, 0, −1, 0, 5, 0, −61, 0, 1385, 0, ...}	${\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}.$
OEIS sequence A138591	Números educados	{3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ...}	Un número entero positivo que se puede escribir como la suma de dos o más números enteros positivos consecutivos.
OEIS sequence A194472	Números Erdős–Nicolas	{24, 2016, 8190, 42336, 45864, 392448, 714240, 1571328, ...}	Un número n tal que debe existir otro número m y $\sum _{d\mid n,\ d\leq m}d=n.$
OEIS sequence A337663	Solución al rompecabezas del trampolín	{1, 16, 28, 38, 49, 60 ...}	El valor máximo a(n) del rompecabezas de trampolín.

Números figurantes.

OEIS link	Name	First elements	Short description
OEIS sequence A000027	Números naturales	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}	Los números naturales (enteros positivos) n ∈ ℕ.
OEIS sequence A000217	Números triangulares t(n)	{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...}	t(n) = C(n + 1, 2) = n (n + 1)/2 = 1 + 2 + ⋯ + n para n ≥ 1, con t(0) = 0 (suma vacía).
OEIS sequence A000290	Números cuadráticos n2	{0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...}	n2 = n × n
OEIS sequence A000292	Números tetraédricos T(n)	{0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, ...}	T(n) es la suma de los primeros n números triangulares, con T(0) = 0 (suma vacía).
OEIS sequence A000330	Números piramidales cuadrados	{0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, ...}	n (n + 1)(2n + 1)/6 : El número de esferas apiladas en una pirámide con una base cuadrada.
OEIS sequence A000578	Números cúbicos n3	{0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...}	n3 = n × n × n
OEIS sequence A000584	Potencias a la quinta	{0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, ...}	n5
OEIS sequence A003154	Números estrella	{1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, ...}	El noveno número estrella es Sn = 6n(n − 1) + 1.
OEIS sequence A007588	Números Stella octangula	{0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444, 4381, ...}	Números de Stella octangula: n (2n2 − 1), con n ≥ 0.

Tipos de primos

OEIS link	Name	First elements	Short description
OEIS sequence A000043	Exponentes primos de Mersenne	{2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ...}	Primos p tal que 2p − 1 es primo.
OEIS sequence A000668	Primos de Mersenne	{3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, ...}	2p − 1 es primo, donde p es primo.
OEIS sequence A000979	Primos de Wagstaff	{3, 11, 43, 683, 2731, 43691, ...}	Un número primo p para la fórmula $p={{2^{q}+1} \over 3}$ donde q es un primo impar..
OEIS sequence A001220	Primos de Wieferich	{1093, 3511}	Primos $p$ que satisfacen 2p-1 ≡ 1 (mod p2).
OEIS sequence A005384	Primos de Sophie Germain	{2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, ...}	Un número primo p tal que 2p + 1 también es primo.
OEIS sequence A007540	Primos de Wilson	{5, 13, 563}	Primo $p$ que satisface (p-1)! ≡ -1 (mod p2).
OEIS sequence A007770	Números felices	{1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, ...}	Los números cuya trayectoria bajo iteración del mapa de suma de cuadrados de dígitos incluye 1.
OEIS sequence A088054	Factoriales de primos	{2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, ...}	Un número primo que es uno menos o uno más que un factorial (todos los factoriales> 1 son pares).
OEIS sequence A088164	Primos de Wolstenholme	{16843, 2124679}	Primos $p$ que satisfacen ${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}$.
OEIS sequence A104272	Primos de Ramanujan	{2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, ...}	El n-ésimo primo de Ramanujan es el menor número entero Rn para el cual π (x) - π (x / 2) ≥ n, para todo x ≥ Rn.

Base dependientes

OEIS link	Name	First elements	Short description
OEIS sequence A005224	Secuencia de Aronson	{1, 4, 11, 16, 24, 29, 33, 35, 39, 45, ...}	"t" es la primera, cuarta, undécima, ... letra de esta oración, sin contar espacios ni comas.
OEIS sequence A002113	Palíndromos	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}	Un número que permanece igual cuando se invierten sus dígitos.
OEIS sequence A003459	Primos permutables	{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, ...}	Los números para los que cada permutación de dígitos es primo.
OEIS sequence A005349	Números Harshad en base 10	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, ...}	Un número de Harshad en base 10 es un número entero que es divisible por la suma de sus dígitos (cuando se escribe en base 10).
OEIS sequence A014080	Factoriones	{1, 2, 145, 40585, ...}	Un número natural que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos decimales.
OEIS sequence A016114	Primos circulares	{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, ...}	Los números que permanecen primos bajo cambios cíclicos de dígitos.
OEIS sequence A037274	Primos de inicio	{1, 2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, ...}	Para n ≥ 2, a (n) es el primo que finalmente se alcanza cuando se comienza con n, se concatenan sus factores primos (A037276) y se repite hasta que se alcanza un primo; a (n) = - 1 si nunca se alcanza un número primo.
OEIS sequence A046075	Números ondulatorios	{101, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, ...}	Un número que tiene la forma de dígitos ababab.
OEIS sequence A046758	Números equidigitales	{1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, ...}	Un número que tiene el mismo número de dígitos que el número de dígitos en su factorización prima, incluidos los exponentes pero excluyendo los exponentes iguales a 1.
OEIS sequence A046760	Números extravagantes	{4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 34, 36, 38, ...}	Un número que tiene menos dígitos que el número de dígitos en su factorización prima (incluidos los exponentes).
OEIS sequence A050278	Números pandigitales	{1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689, 1023457698, 1023457869, 1023457896, ...}	Números que contienen los dígitos del 0 al 9, de modo que cada dígito aparece exactamente una vez.

Referencias

• OEIS core sequences

Enlaces externos

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