Constante de Euler-Mascheroni

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La constante de Euler-Mascheroni (también conocida como constante de Euler) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números, y se denota con la letra griega minúscula γ (Gamma).

Se define como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural:

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}   - \ln(n)\right]=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx

Su valor aproximado es:

\gamma \approx 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;606\;\ldots

No debe confundirse con el número e, también llamado número de Euler.

Historia[editar]

La constante apareció por primera vez en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizo Leonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A. Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.[1]

Propiedades[editar]

El número γ no se ha probado que sea algebraico o transcendente, de hecho, ni siquiera se conoce si γ es irracional o no.[2] El análisis de fracciones continuas revela, que de ser racional, su denominador debe ser muy elevado (actualmente del orden de 10242080).[3] Debido a que está presente en un gran número de ecuaciones y relaciones, la racionalidad o irracionalidad de γ está entre los problemas abiertos más importantes de matemáticas.

A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.

Representación original (Euler)[editar]

Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:

 \gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right]

Relación con la función Gamma[editar]

Si tomamos la función gamma, la derivamos y evaluamos en 1, obtenemos -γ. Lo mismo pasa si evaluamos la función digamma en 1, o sea:

 -\gamma = {\Gamma}'(1) = \Psi(1) \,\!

también como el límite:

 \gamma =   \lim_{n \to \infty} \left [ n - \Gamma \left ( \frac{1}{n} \right ) \right ]

El límite relacionado con la función beta (expresada en términos de función gamma) es:

 -\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+{1 \over n}}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]

y como función beta:

 -\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [n^{2+{1 \over n}} \, \Beta \left(  1 + \frac{1}{n},\, n + 1 \right ) - \frac{n^2}{n+1} \right ]

Relación con la función Zeta de Riemann[editar]

γ se puede expresar como suma infinita, cuyos términos invocan la función zeta de Riemann para números positivos de la siguiente forma:


\gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k\zeta(k)}{k} =  \log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} \zeta(k+1)}{2^k (k+1)}

Otras series relacionadas con la función zeta son:


\gamma = \frac{3}{2}- \log 2 - \sum_{k=2}^\infty (-1)^k\,\frac{k-1}{k} [\zeta(k)-1] = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \log\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k \,n}}{(k+1)!} \sum_{t=0}^k \frac{1}{t+1} - n\, \log 2+ \mathcal{O} \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ]

El término error de la última serie decrece exponencialmente en función de n. Como resultado, la fórmula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de dígitos de la constante con gran precisión.

Otros interesantes límite relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)

 \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right )

Representación con integrales[editar]

γ es igual al valor de un número determinado de integrales definidas:



\begin{align}

\gamma & = - \int_0^\infty { e^{-x} \log x }\,dx \\

{} & = - \int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx \\

{} & = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x}  }\,dx \\

{} & = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx \\

\end{align}

Entre las integrales definidas en las cuales aparece γ se incluyen:

  \int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}
 \int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}

Una expresión en la cual se expresa γ como una integral doble (Sondow 2003, 2005), con su serie equivalente es:

 \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right )

Representación con series[editar]

Aparte de la serie original de Euler (mostrada arriba), se conocen otras series entre las que se incluyen:

 \gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1}

encontrada por Nielsen en 1897. En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ.


 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
  = \tfrac12-\tfrac13
  + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
  + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots

donde log2 es el logaritmo en base 2 y  \left \lfloor \, \right \rfloor la función parte entera.

En 1926, Vacca encontró otra serie similar a la anterior:


 \gamma + \zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
  = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14\left(\tfrac14 + \dots + \tfrac18\right)
    + \tfrac19\left(\tfrac19 + \dots + \tfrac1{15}\right) + \dots

o escrito como


 \gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k^2\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
 =  \tfrac1{2^2} + \tfrac2{3^2}
  + \tfrac1{2^2}\left(\tfrac1{5^2} + \tfrac2{6^2} + \tfrac3{7^2} + \tfrac4{8^2}\right)
  + \tfrac1{3^2}\left(\tfrac1{10^2} + \dots + \tfrac6{15^2}\right) + \dots
(Krämer, 2005)

Estas dos últimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulación de la Integral de Catalán (ver Sondow y Zudilin)

 \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx

Representación en forma de fracción continua[editar]

La representación en forma de fracción continua es:

 \gamma = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \ddots\ {}}}}}}

más concretamente

 \gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]\, (sucesión A002852 en OEIS).

Expansiones asintóticas[editar]

γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde Hn es el n-ésimo número armónico)

\gamma  \sim H_n  - \log \left( n \right) - \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{12n^2 }} - \frac{1}{{120n^4 }} + ...

(Euler)

 \gamma  \sim H_n  - \log \left( {n + \frac{1}{2} + \frac{1}{{24n}} - \frac{1}{{48n^3 }} + ...} \right)

(Negoi)

 \gamma  \sim H_n  - \frac{{\log \left( n \right) + \log \left( {n + 1} \right)}}{2} - \frac{1}{{6n\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{30n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }} - ...

(Cesàro)

La última fórmula también es llamada Expansión de Ramanujan.

eγ[editar]

La constante eγ es importante en teoría de números. Algunos autores la denotan simplemente como γ'. eγ es igual al siguiente límite, donde pn es el n-ésimo número primo:

 e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}

También se puede expresar como un producto infinito, usando funciones hipergeométricas como sigue:



\begin{align}

e^{\gamma} & =  \prod_{n=1}^\infty \left ( \prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}} \right)^{{1 \over {n+1}}} \\
{} & = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/5}  \cdots

\end{align}

Su valor numérico aproximado es

 e^\gamma =1.781\ 072\ 417\ 990\ 197\ 985\ 236\ldots (sucesión A073004 en OEIS)

Generalizaciones[editar]

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

 \gamma_\alpha = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha} - \int_1^n \frac{1}{x^\alpha} \, dx \right]

para 0 < α < 1, con γ como caso especial cuando α = 1.[4] Esto puede ser más generalizado por

 c_f = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x) \, dx \right]

para una determinada función f decreciente, por ejemplo

 f_n(x) = \frac{\log^n x}{x}

dando lugar a las constantes de Stieltjes, y

 f_a(x) = x^{-a} \,\!

dadas por

 \gamma_{f_a} = \frac{(a-1)\zeta(a)-1}{a-1}

donde de nuevo el límite

 \gamma = \lim_{a\to1}\left[ \zeta(a) - \frac{1}{a-1}\right]

aparece.

Apariciones[editar]

La constante de Euler-Mascheroni aparece en los siguientes casos (la mayoría en teoría de números):

Para más información en este sentido, ver Gourdon and Sebah (2004).

Referencias[editar]

  1. Krämer, 2005
  2. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático (1ma edición). México, México: Editorial Limusa. ISBN 968-18-0634-5.
  3. Havil, 2003, p. 97.
  4. Havil, p.117-118

Enlaces externos[editar]

  • http://www.EulerArchive.org (en inglés)
  • Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín) [1]
  • Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés) [2]
  • Euler-Mascheroni constant (mathworld, en inglés) [3]
  • Krämer, Stefan, Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History. (en inglés)[4]
  • Jonathan Sondow. (en inglés)