Regla del producto (cálculo)

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En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones

o usando la notación de Leibniz:

La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.

Demostración[editar]

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

Sea

con y continuas y diferenciables en la variable entonces

Como

se tiene

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que

Como es continua en se tiene

y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de y en se tiene también que

Por lo tanto

Ejemplo[editar]

Suponiendo que se quiere derivar:

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:

Generalizaciones[editar]

Producto de dos o más factores[editar]

La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos

Para una colección de funciones tenemos

La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.

Derivadas de orden superior[editar]

También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la -ésima derivada del producto de dos factores.

Sean y funciones veces diferenciables. La -ésima derivada del producto viene dada por:

donde

es llamado coeficiente binomial.

Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.

Más aún, la -ésima derivada de un número arbitrario de factores

Espacio de Banach[editar]

Supóngase que , y son espacios de Banach y es un operador bi lineal continuo, entonces es diferenciable y su derivada en el punto en es el mapeo lineal dado por

En cálculo vectorial[editar]

La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como

Para producto escalar:

Para producto vectorial:

Véase también[editar]

Referencias[editar]