Número de Kaprekar

En matemáticas, un número de Kaprekar (Por: Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar, 1905–1986, matemático Indio) es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original. El ejemplo más simple es 9, su cuadrado es 81 y 8+1= 9. Otro ejemplo es el número 703, su cuadrado es 494209. Si separamos 494209 en dos nuevos números, 494 y 209, obtenemos que 494 + 209 = 703. De igual forma, el número 297 también es un número de Kaprekar, ya que es posible descomponer el cuadrado 297² = 88209 en 88 y 209.
El segundo número puede comenzar por cero, pero debe ser positivo. Un ejemplo es 999, ya que 999²=998001 y se descompone en 998 y 001. Por esto mismo, el número 100 no es un número de Kaprekar, ya que 100²=10000 y se descompone en 100 + 00, pero el segundo sumando no es positivo.

Matemáticamente, sea X un entero no negativo. X es un número de Kaprekar para la base b si existen n números enteros no negativos, A y B, que satisfagan las siguientes condiciones:

0 < B < bⁿ

X² = Abⁿ + B

X = A + B

Los primeros números de Kaprekar en base 10 son ((sucesión A006886 en OEIS)):

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, ...

En binario (base 2) todos los números perfectos son números de Kaprekar.

En cualquier base existen infinitos números de Kaprekar, en particular, dada una base b, todos los números de la forma bⁿ-1 son números de Kaprekar.

Los números de Kaprekar se nombran en honor a D. R. Kaprekar. No deben confundirse con la constante de Kaprekar, que es el número 6174.

Referencias

• D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, J. Rec. Math., 13 (1980-1981), 81-82.
• M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
• Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), https://web.archive.org/web/20040405174659/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html

• Datos: Q1478274