Lógica

La lógica es la ciencia formal que estudia los principios de la demostración y la inferencia válida.​ La palabra «lógica» deriva del griego antiguo λογική logikḗ, que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez viene de λόγος (lógos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio».

Así como el objeto de estudio tradicional de la química es la materia, y el de la biología la vida, el de la lógica es la inferencia. La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas.​ La lógica investiga los fundamentos por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica.

Tradicionalmente se distinguen tres clases de inferencias: las deducciones, las inducciones y las abducciones, aunque a veces se cuenta a la abducción como un caso especial de inducción.​ La validez o no de las inducciones es asunto de la lógica inductiva y del problema de la inducción. Las deducciones, en cambio, son estudiadas por la mayor parte de la lógica contemporánea. En un argumento deductivamente válido, la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas.​ El concepto de consecuencia lógica es, por lo tanto, un concepto central a la lógica.​ Para estudiarlo, la lógica construye sistemas formales que capturan los factores relevantes de las deducciones como aparecen en el lenguaje natural.​ Para entender esto, considérese la siguiente deducción:

1. Está lloviendo y es de día.
2. Por lo tanto, está lloviendo.

La obvia validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «está lloviendo» y «es de día», porque estas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:

1. Está nevando y hace frío.
2. Por lo tanto, está nevando.

En cambio, la clave de la validez del argumento reside en la expresión «y». Si esta expresión se cambia por otra, entonces el argumento puede dejar de ser válido:

1. Está nevando o hace frío.
2. Por lo tanto, está nevando.

Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas, y la lógica las estudia mediante sistemas formales.​ Dentro de cada sistema formal, la relación de consecuencia lógica se puede definir de manera precisa, generalmente por medio de teoría de modelos o por medio de teoría de la demostración.

La lógica tradicionalmente se considera una rama de la filosofía, pero desde fines del siglo XIX, su formalización simbólica ha demostrado una íntima relación con las matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática. En el siglo XX la lógica ha pasado a ser principalmente la lógica matemática, un cálculo definido por símbolos y reglas de inferencia, lo que ha permitido su aplicación a la informática.

Además de las inferencias, la lógica estudia las falacias, las paradojas y la noción de verdad.​

ME GUSTAN LAS P*****

Ciencia argumentativa y propedéutica

El término «lógica», se encuentra en los antiguos peripatéticos y estoicos como una teoría de la argumentación o argumento cerrado.​De este modo la forma argumentativa responde al principio de conocimiento que supone que representa adecuadamente la realidad.​ Por ello, sin perder su condición de formalidad, no son formalistas y no acaban de desprenderse de las estructuras propias del lenguaje.​

Ciencia del pensar

Gottfried Leibniz (1646-1716).

Los filósofos racionalistas, sin embargo, al situar el origen de la reflexión filosófica en la conciencia, aportaron, a través del desarrollo del análisis como método científico del pensar,​ los temas que van a marcar el desarrollo de la lógica formal. Son de especial importancia la idea de Descartes de una Mathesis universalis​ y de Leibniz que, con su Characteristica Universalis supone la posibilidad de un lenguaje universal, especificado con precisión matemática sobre la base de que la sintaxis de las palabras debería estar en correspondencia con las entidades designadas como individuos o elementos metafísicos, lo que haría posible un cálculo o computación mediante algoritmo en el descubrimiento de la verdad.​​

Aparecen los primeros intentos y realizaciones de máquinas de cálculo, (Pascal, Leibniz) y, aunque su desarrollo no fue eficaz, sin embargo la idea de una Mathesis Universal o Característica Universal, es el antecedente inmediato del desarrollo de la lógica simbólica a partir del siglo XX.

Leibniz y Descartes seguían muy de cerca la escuela jesuita, sobre todo a Suárez, quienes a su vez utilizaban la Lógica Mexicana, de Fray Antonio de Rubio, filósofo mexicano (Novohispano).​

Además se considera que las lógicas modernizantes nunca lograron la precisión de estos estudios. Sander Pierce, Gottlob Frege, Saussure y Wittgenstein siguieron criterios neoescolásticos para formular sus teorías lógicas, más acabadas.​

La palabra «lógica» ha sido utilizada como lógica trascendental por Kant, en el sentido de investigar los conceptos puros a priori del entendimiento o categorías trascendentales.

Hegel considera la lógica dentro del absoluto como proceso dialéctico del Absoluto, entendido éste como Principio Absoluto, Espíritu Absoluto, y Sujeto, como Sujeto Absoluto.​​La lógica, la epistemología y la ontología van unidas y son expuestas en la filosofía entendida esta como Sistema Absoluto.

Lógica como pensamiento informal

En el lenguaje cotidiano, expresiones como «lógica» o «pensamiento lógico», aporta también un sentido alrededor de un «pensamiento lateral» comparado, haciendo los contenidos de la afirmación coherentes con un contexto, bien sea del discurso o de una teoría de la ciencia, o simplemente con las creencias o evidencias transmitidas por la tradición cultural.

Del mismo modo existe el concepto sociológico y cultural de lógica como, p.e. «la lógica de las mujeres», «lógica deportiva», etc. que, en general, podríamos considerar como «lógica cotidiana» - también conocida como «lógica del sentido común».

En estas áreas la «lógica» suele tener una referencia lingüística en la pragmática.

Un argumento en este sentido tiene su «lógica» cuando resulta convincente, razonable y claro; en definitiva cuando cumple una función de eficacia. La habilidad de pensar y expresar un argumento así corresponde a la retórica, cuya relación con la verdad es una relación probable.

Sistemas formales

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Un sistema formal o sistema lógico es un sistema abstracto compuesto por un lenguaje formal, axiomas, reglas de inferencia y a veces una semántica formal, que se utiliza para deducir o demostrar teoremas y dar una definición rigurosa del concepto de demostración. Un sistema formal es una formalización rigurosa y completa del concepto de sistema axiomático, los cuales se pueden expresar en lenguaje formal o en lenguaje natural formalizado. Al crear un sistema formal se pretende capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinado lenguaje formal. Algunos de los sistemas formales más conocidos son la lógica proposicional, la lógica de primer orden y la lógica modal.

En la teoría de la demostración, las demostraciones formales se pueden expresar en el lenguaje de los sistemas formales, consistentes en axiomas y reglas de inferencia. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de demostraciones formales. Este punto de vista de las matemáticas ha sido denominado formalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una acepción peyorativa. En ese sentido, David Hilbert creó la metamatemática para estudiar los sistemas formales, entendiendo que el lenguaje utilizado para ello, denominado metalenguaje era distinto del lenguaje del sistema formal que se pretendía estudiar, al que se llama lenguaje objeto.

Un sistema así es la reducción de un lenguaje formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.​

Una teoría axiomática es un conjunto de fórmulas en un determinado lenguaje formal y todas las fórmulas deducibles de dichas expresiones mediante las reglas de inferencia posibles en dicho sistema formal. El objetivo de las teorías axiomáticas es construir sistemas formales que representen las características esenciales de ramas enteras de las matemáticas. Si se selecciona un conjunto más amplio o menos amplio de axiomas el conjunto de teoremas deducibles cambian. El interés de la teoría de modelos es que en un modelo en que satisfagan los axiomas de determinada teoría también se satisfacen los teoremas deducibles de dicha teoría. Es decir, si un teorema es deducible en una cierta teoría, entonces ese teorema es universalmente válido en todos los modelos que satisfacen los axiomas. Esto es interesante porque en principio la clase de modelos que satisface una cierta teoría es difícil de conocer, ya que las teorías matemáticas interesantes en general admiten toda clase infinita de modelos no isomorfos, por lo que su clasificación en general resulta difícilmente abordable si no existe un sistema formal y un conjunto de axiomas que caracterice los diferentes tipos de modelos.

En el siglo XX, Hilbert y otros sostuvieron que la matemática es un sistema formal. Pero en 1931, Kurt Gödel demostró que ningún sistema formal con suficiente poder expresivo para capturar la aritmética de Peano puede ser a la vez consistente y completo. El teorema de la incompletitud de Gödel, junto con la demostración de Alonzo Church de que la matemática tampoco es decidible, terminó con el programa de Hilbert. Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, el enfoque sigue siendo ampliamente usado, básicamente porque no se ha encontrado ninguna alternativa mejor al enfoque formalista de Hilbert y la pretensión de trabajar en el seno de teorías matemáticas explícitamente axiomatizadas, aun con sus limitaciones.

Los sistemas formales también han encontrado aplicación dentro de la informática, la teoría de la información y la estadística.

Lógicas clásicas

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Una lógica clásica o lógica estándar​​ es un sistema formal que respeta los siguientes principios:

• Principio del tercero excluido
• Principio de no contradicción
• Principio de explosión
• Monotonicidad de la implicación

Los ejemplos más comunes de lógicas clásicas son la lógica proposicional, la lógica de primer orden y la lógica de segundo orden.

Las lógicas clásicas son los sistemas formales más estudiados y utilizados de todos.

Lógicas no clásicas

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Una lógica no clásica o lógica alternativa es un sistema formal que difiere de manera significativa de las lógicas clásicas. Hay varias formas de hacerlo, incluyendo a modo de extensiones, desviaciones, y variaciones, por ejemplo, rechazando uno o varios de los principios de la lógica clásica. El objetivo de estas desviaciones es para hacer posible construir distintos modelos de consecuencia lógica y verdad lógica.

La lógica filosófica, especialmente en la ciencia computacional teórica, se usa para abarcar y centrarse en las lógicas no clásicas, a pesar de que el término tiene otros significados también.​

Algunos ejemplos de lógicas no clásicas son:

• Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el principio del tercero excluido y propone un número infinito de valores de verdad.
• Lógica relevante: Es una lógica paraconsistente que evita el principio de explosión al exigir que para que un argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben compartir al menos una variable proposicional.
• Lógica cuántica: Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su característica más notable es el rechazo de la propiedad distributiva.
• Lógica no monotónica: Una lógica no monotónica es una lógica donde, al agregar una fórmula a una teoría cualquiera, es posible que el conjunto de consecuencias de esa teoría se reduzca.
• Lógica intuicionista: Enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones.

Lógicas modales

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Una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de algún grupo de operadores modales.​ Los operadores modales son expresiones que califican la verdad de los juicios.​ Por ejemplo, en el juicio «es necesario que 2 + 2 = 4», la expresión «es necesario que» es un operador modal que califica de necesaria a la verdad del juicio «2 + 2 = 4». De manera análoga, la expresión «siempre» califica a un juicio verdadero como verdadero en cualquier momento, es decir, siempre. No es lo mismo decir «está lloviendo» que decir «siempre está lloviendo».

En un sentido más restringido, sin embargo, una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de las expresiones «es necesario que» y «es posible que».​ Este artículo trata exclusivamente sobre lógicas modales en este sentido restringido. Las lógicas modales pertenecen al grupo de las llamadas «extensiones de la lógica clásica» o «lógicas extendidas» entre las cuales se incluyen además la lógica deóntica, la lógica temporal, la lógica epistémica y la lógica doxástica.

La lógica de Aristóteles se ocupa en gran parte de la teoría de la lógica no modalizada. Aunque hay pasajes en su obra, como el famoso argumento de la batalla naval en De Interpretatione , que ahora se ven como anticipaciones de la lógica modal y su conexión con la potencialidad y el tiempo, el primer sistema formal de lógica modal fue desarrollado por Avicenna, quien finalmente desarrolló una teoría de "temporalmente modalizada" silogística.

Mientras que el estudio de la necesidad y la posibilidad seguía siendo importante para los filósofos, no hubo grandes avances en el campo de la lógica hasta las investigaciones de Marco de Clarence Irving Lewis en 1918, que formuló una familia de axiomas. Su obra desencadenó un torrente de nuevos trabajos sobre el tema, ampliando los tipos de modalidad tratados para incluir la lógica deóntica y la lógica epistémica. La obra seminal de Arthur Prior aplicó el mismo lenguaje formal para tratar la lógica temporal y allanó el camino para la unión de los dos sujetos. Saul Kripke descubrió (al mismo tiempo que sus rivales) su teoría de la semántica de los cuadros, que revolucionó la tecnología formal disponible para los lógicos modales y dio una nueva forma gráfica de mirar la modalidad que ha impulsado muchas aplicaciones en lingüística computacional e informática, lógica

Ramas de la lógica

Lógica filosófica

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Entendida en un sentido estricto, la lógica filosófica es el área de la filosofía que estudia la aplicación de métodos lógicos a problemas filosóficos, a menudo en forma de sistemas lógicos extendidos como la lógica modal. Algunos teóricos conciben la lógica filosófica en un sentido más amplio como el estudio del alcance y la naturaleza de la lógica en general. En este sentido, la lógica filosófica puede considerarse idéntica a la filosofía de la lógica, que incluye temas adicionales como la definición de la lógica o la discusión de los conceptos fundamentales de la lógica. El presente artículo trata la lógica filosófica en el sentido estricto, en el que constituye un campo de investigación dentro de la filosofía de la lógica.

Un tema importante para la lógica filosófica es la cuestión de cómo clasificar la gran variedad de sistemas lógicos no clásicos, muchos de los cuales son de origen bastante reciente. Una forma de clasificación que se encuentra a menudo en la literatura es distinguir entre lógicas extendidas y lógicas desviadas. La lógica misma puede definirse como el estudio de la inferencia válida. La lógica clásica es la forma dominante de la lógica y articula reglas de inferencia de acuerdo con intuiciones lógicas compartidas por muchos, como el principio del tercero excluido, la eliminación de la doble negación y la bivalencia de la verdad.

Las lógicas extendidas son sistemas lógicos que se basan en la lógica clásica y sus reglas de inferencia, pero la extienden a nuevos campos introduciendo nuevos símbolos lógicos y las correspondientes reglas de inferencia que rigen estos símbolos. En el caso de la lógica modal alética, estos nuevos símbolos se utilizan para expresar no solo lo que es verdadero simpliciter, sino también lo que es posible o necesariamente verdadero. A menudo se combina con la semántica de los mundos posibles, que sostiene que una proposición es posiblemente verdadera si es verdadera en algún mundo posible, mientras que es necesariamente verdadera si es verdadera en todos los mundos posibles. La lógica deóntica pertenece a la ética y proporciona un tratamiento formal de las nociones éticas, como la obligación y el permiso. La lógica temporal formaliza las relaciones temporales entre proposiciones. Esto incluye ideas como si algo es verdadero en algún momento o todo el tiempo y si es verdadero en el futuro o en el pasado. La lógica epistémica pertenece a la epistemología. Puede usarse para expresar no solo lo que es el caso, sino también lo que alguien cree o sabe que es el caso. Sus reglas de inferencia articulan lo que se desprende del hecho de que alguien tiene estos tipos de estados mentales. Las lógicas de orden superior no aplican directamente la lógica clásica a ciertos subcampos nuevos dentro de la filosofía, sino que la generalizan al permitir la cuantificación no solo sobre individuos sino también sobre predicados.

Las lógicas desviadas, en contraste con estas formas de lógicas extendidas, rechazan algunos de los principios fundamentales de la lógica clásica y a menudo son vistas como sus rivales. La lógica intuicionista se basa en la idea de que la verdad depende de la verificación a través de una prueba. Esto la lleva a rechazar ciertas reglas de inferencia encontradas en la lógica clásica que no son compatibles con esta suposición. La lógica libre modifica la lógica clásica para evitar los presupuestos existenciales asociados al uso de términos singulares posiblemente vacíos, como nombres y descripciones definidas. Las lógicas plurivalentes permiten valores de verdad adicionales además de verdadero y falso. Por lo tanto, rechazan el principio de bivalencia de la verdad. Las lógicas paraconsistentes son sistemas lógicos capaces de lidiar con contradicciones. Lo hacen evitando el principio de explosión que se encuentra en la lógica clásica. La lógica relevante es una forma prominente de lógica paraconsistente. Rechaza la interpretación puramente funcional de verdad del condicional material al introducir el requisito adicional de relevancia: para que el condicional sea verdadero, su antecedente tiene que ser relevante para su consecuente.

Lógica matemática

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La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística,​ es el estudio formal y simbólico de la lógica, y su aplicación a algunas áreas de la matemática y la ciencia. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a la construcción y el desarrollo de las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

La lógica matemática estudia la inferencia mediante la construcción de sistemas formales como la lógica proposicional, la lógica de primer orden o la lógica modal. Estos sistemas capturan las características esenciales de las inferencias válidas en los lenguajes naturales, pero al ser estructuras formales susceptibles de análisis matemático, permiten realizar demostraciones rigurosas sobre ellas.

La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la computabilidad. La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamento de la lógica matemática. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, desde el teorema de Cantor, el axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación. La teoría de la computabilidad captura la idea de la computación en términos lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en día, la teoría de la computabilidad se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad.

La lógica matemática también estudia las definiciones de nociones y objetos matemáticos básicos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos. La lógica matemática estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalógicas de los mismos.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es un método para descubrir verdades del mundo físico real, sino solo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional.

Por otra parte, la lógica matemática no estudia el concepto de razonamiento humano general o el proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero con lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino solo de demostraciones y razonamientos que se pueden formalizar por completo.

Lógica computacional

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Diagrama visual de lógica

La lógica computacional es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental en varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos.

La lógica se extiende al corazón de la informática a medida que surge como una disciplina: El trabajo de Alan Turing sobre el Entscheidungsproblem seguido del trabajo de Kurt Gödel sobre teoremas incompletos. La noción de la computadora de uso general que surgió de este trabajo fue de gran importancia para los diseñadores de la maquinaria informática en la década de 1940.

En los años 50 y 60, investigaciones predijeron que, cuando el conocimiento humano se pudiera expresar usando la lógica con notaciones matemáticas, sería posible crear una máquina capaz de razonar o una inteligencia artificial. Esto fue más difícil de lo esperado a causa de la complejidad del razonamiento humano. En la lógica de programación, un programa consiste en una colección de axiomas y reglas. Los sistemas de programación lógicos (como Prolog) calculan las consecuencias de los axiomas y las reglas organizadas para responder a una consulta.

Hoy en día, la lógica es extensamente aplicada en los campos de inteligencia artificial y de ciencias de computación, y estos campos proporcionan una rica fuente de problemas en la lógica formal e informal. La teoría de la argumentación es un buen ejemplo de cómo la lógica está siendo aplicada a la inteligencia artificial. El sistema de clasificación computacional ACM, en particular, considera:

• Sección F.3 en Lógicas y significados de programas y F.4 en Lógica matemática y lenguajes formales como parte de la teoría de la ciencia de computación: este trabajo cubre la semántica formal de los lenguajes de programación tan bien como el trabajo de métodos formales como la lógica de Hoare.
• Lógica booleana como fundamento en el hardware de la computadora, particularmente la sección del sistema B.2 en la estructura aritmética y lógica, relacionado con operadores AND, NOT y OR.
• Muchos formalismos lógicos fundamentales son esenciales para la sección I.2 sobre inteligencia artificial, por ejemplo la lógica modal y la lógica por defecto en los formalismos y métodos de representación del conocimiento, las cláusulas de Horn en la programación lógica y la lógica de descripción.

Además, las computadoras se pueden usar como herramientas para los lógicos. Por ejemplo, en lógica simbólica y lógica matemática, las pruebas de los seres humanos pueden ser asistidas por computadoras. Usando la prueba automatizada del teorema, las máquinas pueden encontrar y comprobar pruebas, así como trabajar con las pruebas demasiadas largas como para escribir a mano.

Metalógica

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La metalógica es la rama de la lógica que estudia las propiedades y los componentes de los sistemas formales.​ Las propiedades más importantes que se pueden demostrar de los sistemas formales son la consistencia, decidibilidad y completitud.​ Ejemplos de teoremas metalógicos importantes son los teoremas de incompletitud de Gödel, el teorema de completitud de Gödel y el teorema de Löwenheim-Skolem. Otra propiedad es la compacidad.

Consistencia

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En metalógica, la consistencia o consistencia lógica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo (axiomas y reglas de inferencia), no es posible deducir una fórmula y su negación. La existencia de un modelo implica que una teoría lógica es consistente.

Generalizando, la consistencia es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no es posible deducir una contradicción del mismo. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo, no es posible demostrar una fórmula y su negación. Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógica p: ${\mathcal {A}}\vdash p$ y ${\mathcal {A}}\vdash \neg p$ simultáneamente.

Decidibilidad

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En metalógica, la decidibilidad es una propiedad de los sistemas formales cuando, para cualquier fórmula en el lenguaje del sistema, existe un método efectivo para determinar si esa fórmula pertenece o no al conjunto de las verdades del sistema. Por ejemplo, la lógica proposicional es decidible, porque existe un algoritmo (la tabla de verdad) que en un número finito de pasos puede decidir si la fórmula es válida o no.

Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.

Completitud

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En metalógica, la completitud o completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema.​ Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que:

Si  $\models _{\mathrm {S} }A$  entonces  $\vdash _{\mathrm {S} }A$​

Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula cerrada del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula cerrada o para su negación.

La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y sintácticamente completo.

Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fórmula bien formada cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto $\Gamma$ de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de $\Gamma$. En símbolos:

Si  $\Gamma \models _{\mathrm {S} }A$  entonces  $\Gamma \vdash _{\mathrm {S} }A$​

Falacias

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En lógica, una falacia (del latín fallacia ‘engaño’) es un argumento que parece válido, pero no lo es.​​ Algunas falacias se cometen intencionadamente para persuadir o manipular a los demás, mientras que otras se cometen sin intención debido a descuidos o ignorancia. En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas, por lo que se debe poner mucha atención para detectarlas.​

Que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusión sean falsas ni que sean verdaderas. Un argumento puede tener premisas y conclusión verdaderas y aun así ser falaz. Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en sí. De hecho, inferir que una proposición es falsa porque el argumento que la contiene por conclusión es falaz es en sí una falacia conocida como argumento ad logicam.​

El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristóteles, quien en sus Refutaciones sofísticas identificó y clasificó trece clases de falacias.​ Desde entonces se han agregado a la lista cientos de otras falacias y se han propuesto varios sistemas de clasificación.​

Las falacias son de interés no solo para la lógica, sino también para la política, la retórica, el derecho, la ciencia, la religión, el periodismo, la mercadotecnia, el cine y, en general, cualquier área en la cual la argumentación y la persuasión sean de especial relevancia.

Paradojas

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El cubo imposible es un objeto paradójico.

Una paradoja (del latín paradoxa, ‘lo contrario a la opinión común’) o antilogía es una idea lógicamente contradictoria u opuesta a lo que se considera verdadero a la opinión general.​ También se considera paradoja a una proposición en apariencia falsa o que infringe el sentido común, pero no conlleva una contradicción lógica, en contraposición a un sofisma, que solo aparenta ser un razonamiento válido.​ Algunas paradojas son razonamientos en apariencia válidos, que parten de premisas en apariencia verdaderas, pero que conducen a contradicciones o situaciones contrarias al sentido común.​ En la retórica, es una figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que implican contradicción. Las paradojas son estímulo para la reflexión y a menudo los filósofos se sirven de ellas para revelar la complejidad de la realidad. La paradoja también permite demostrar las limitaciones de la comprensión humana; la identificación de paradojas basadas en conceptos que a simple vista parecen sencillos y razonables ha impulsado importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas.​

Historia

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La historia de la lógica documenta el desarrollo de la lógica en varias culturas y tradiciones a lo largo de la historia. Aunque muchas culturas han empleado intrincados sistemas de razonamiento, e, incluso, el pensamiento lógico estaba ya implícito en Babilonia en algún sentido, la lógica como análisis explícito de los métodos de razonamiento ha recibido un tratamiento sustancial solo originalmente en tres tradiciones: la Antigua China, la Antigua India y la Antigua Grecia.

Aunque las dataciones exactas son inciertas, particularmente en el caso de la India, es probable que la lógica emergiese en las tres sociedades hacia el siglo IV a. C. El tratamiento formalmente sofisticado de la lógica proviene de la tradición griega, especialmente del Organon aristotélico, cuyos logros serían desarrollados por los lógicos islámicos y, luego, por los lógicos de la Edad Media europea. El descubrimiento de la lógica india entre los especialistas británicos en el siglo XVIII influyó también en la lógica moderna.

La historia de la lógica es producto de la confluencia de cuatro líneas de pensamiento, que aparecen en momentos históricos diferentes:​ La lógica aristotélica, seguida de los aportes de los megáricos y los estoicos. Siglos después, Ramon Llull y Leibniz estudiaron la posibilidad de un lenguaje único, completo y exacto para razonar. Al comienzo del siglo XIX las investigaciones en los fundamentos del álgebra y la geometría, seguidos por el desarrollo del primer cálculo completo por Frege. Ya en el siglo XX, Bertrand Russell y Whitehead culminaron el proceso de creación de la lógica matemática. A partir de este momento no cesarán de producirse nuevos desarrollos y de nacer escuelas y tendencias. Otra perspectiva interesante sobre cómo abordar el estudio de la historia lógica la ofrece Alberto Moretti​ y que es sintetizada por Diego Letzen.​

Lógica aristotélica

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Grabado de la Sabiduría entregando la llave de la Razón a Aristóteles, para distinguir al hombre de las bestias (c. 1690).

La lógica aristotélica es la lógica basada en los trabajos del filósofo griego Aristóteles, quien es ampliamente reconocido como el padre fundador de la lógica.​ Sus trabajos principales sobre la materia tradicionalmente se agrupan bajo el nombre Órganon («herramienta») y constituyen la primera investigación sistemática sobre los principios del razonamiento válido o correcto. Inició lo que se denomina como lógica de términos.​​

Para Aristóteles, la lógica era una herramienta necesaria para adentrarse en el mundo de la filosofía y la ciencia. Su lógica está a su vez vinculada con su metafísica.​ Sus propuestas ejercieron una influencia sin par durante más de dos milenios,​ a tal punto que en el siglo XVIII, Immanuel Kant llegó a afirmar:

"Que desde los tiempos más tempranos la lógica ha transitado por un camino seguro puede verse a partir del hecho de que desde la época de Aristóteles no ha dado un sólo paso atrás. [...] Lo que es aún más notable acerca de la lógica es que hasta ahora tampoco ha podido dar un sólo paso hacia adelante, y por lo tanto parece a todas luces terminada y completa." Crítica de la razón pura, B, VIII

El trabajo de Aristóteles se consideraba desde los tiempos clásicos, y particularmente durante la época medieval en Europa y el Medio Oriente, como la imagen misma de un sistema completamente elaborado. Sin embargo no estaba solo: los estoicos propusieron un sistema de lógica proposicional que fue estudiado por los lógicos medievales. También se estudió el problema de la generalidad múltiple. No obstante, no se consideraba que los problemas de la lógica aristotélica, tuvieran que necesitar soluciones revolucionarias. En la actualidad, algunos académicos afirman que el sistema de Aristóteles no puede aportar mucho más que valor histórico, debido a la llegada de la lógica matemática. Sin embargo, la lógica de Aristóteles se emplea, entre otros campos de estudio e investigación, en la teoría de la argumentación para ayudar a desarrollar y cuestionar críticamente los esquemas de argumentación que se utilizan en la inteligencia artificial y los argumentos legales.

Véase también

• Lógica binaria
• Lógica dialéctica
• Lógica formal
• Lógica deóntica
• Lógica informal
• Lógica matemática
• Lógica polivalente
• Consecuencia lógica
• Cálculo lógico
• Sistema formal
• Constante lógica
• Aporía
• Silogismo
• Metodología
• MC-14, método científico en 14 etapas
• Argumento
• Contraargumento
• Declaración (lógica)

Bibliografía adicional

• Priest, Graham (2008). An introduction to non-classical logic: From if to is (2ª edición). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521854337. 
• Ferrater Mora, J. (1984). Diccionario de Filosofía (4 tomos). Barcelona. Alianza Diccionarios. ISBN 84-206-5299-7. 
• Honderich, T.(Editor) (2001). Enciclopedia Oxford de Filosofía. Trd. Carmen García Trevijano. Madrid. Editorial Tecnos. ISBN 84-309-3699-8. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Lógica.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre lógica.
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