Teorema de completitud de Gödel

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El teorema de completitud de Gödel es un importante teorema de la lógica matemática, que fue demostrado por primera vez por Kurt Gödel en 1929 y que en su forma más conocida establece lo siguiente:

En una lógica de primer orden, toda fórmula que es válida en un sentido lógico es demostrable.


Kurt Gödel

La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo mediante una computadora, o a mano).

Una fórmula es lógicamente válida si es verdadera en todo modelo para el lenguaje utilizado en la fórmula. Para expresar de manera formal el teorema de completitud de Gödel, se debe definir el significado de la palabra modelo en este contexto. Esta es una definición básica en la teoría de modelos.

El teorema de Gödel establece una correspondencia entre la verdad semántica y la probabilidad sintáctica en la lógica de primer orden. Crea un vínculo entre la teoría de modelos que se ocupa de lo que es cierto en diferentes modelos, y la teoría de la demostracion que estudia lo que se puede probar formalmente en sistemas formales particulares.

Fue luego simplificado en 1947, cuando Leon Henkin observó en su tesis de doctorado que la parte difícil de la prueba puede presentarse como el Modelo de Teorema de la Existencia (publicado en 1949). La prueba de Henkin fue simplificada por Gisbert Hasenjaeger en 1953.


Declaración del teorema[editar]

Introducción[editar]

Una fórmula de primer orden se llama lógicamente válida si es verdadera en cada estructura para el lenguaje de la fórmula (es decir, para cualquier asignación de valores a las variables de la fórmula). Para declarar formalmente, y luego demostrar, el teorema de la integridad, es necesario también definir un sistema deductivo. Un sistema deductivo se llama completo si toda fórmula lógicamente válida es la conclusión de alguna deducción formal, y el teorema de la completitud para un sistema deductivo particular es el teorema de que está completo en este sentido. Así, en cierto sentido, hay un teorema de completitud diferente para cada sistema deductivo. Algo importante junto con la integridad es la solidez, el hecho de que sólo las fórmulas lógicamente válidas son demostrables en el sistema deductivo.

Si algún sistema deductivo específico de lógica de primer orden es sólido y completo, entonces es "perfecto" (una fórmula es demostrable si y sólo si es una consecuencia semántica de los axiomas), equivalente a cualquier otro sistema deductivo con el mismo Calidad (cualquier prueba en un sistema se puede convertir en el otro).

La formulación original de Gödel[editar]

El teorema de la integridad dice que si una fórmula es lógicamente válida entonces hay una deducción finita (una prueba formal) de la fórmula.

El teorema de Gödel de completitud dice que un sistema deductivo de cálculo de predicados de primer orden es "completo" en el sentido de que no se requieren reglas de inferencia adicionales para probar todas las fórmulas lógicamente válidas. Junto con la integridad hay que tener en cuenta la solidez, el hecho de que sólo las fórmulas lógicamente válidas son demostrables en el sistema deductivo. Junto con la solidez (cuya verificación es fácil), este teorema implica que una fórmula es lógicamente válida si y sólo si es la conclusión de una deducción formal.

Teorema de la existencia del modelo[editar]

La versión más simple de este teorema que es suficiente en la práctica para la mayoría de las necesidades, y tiene conexiones con el teorema de Löwenheim-Skolem, dice:

Cada teoría consistente y contable de primer orden tiene un modelo finito o contable.

Una versión más general se puede expresar como:

Toda teoría coherente de primer orden con un lenguaje bien ordenado tiene un modelo.

Aquí, una teoría consistente se define como aquella en la que, para ninguna fórmula 'F', tanto 'F' como '¬F' pueden ser probados. Ver Consistencia, la definición sintáctica; La definición semántica sería tautológica en este contexto.

Este teorema de Henkin es la versión más directa obtenida del teorema de la completitud en su prueba más simple.

Dado el teorema de Henkin, la demostración del teorema de la completitud es como sigue: Si es válido, entonces no tiene modelos. Por la contraposición de Henkin, entonces es una fórmula inconsistente. Pero, por la definición de consistencia, si es inconsistente entonces es posible construir una prueba de .

Demostraciones[editar]

Para una explicación de la demostración original de Gödel del teorema, ver Demostración original del teorema de completitud de Gödel.

En los libros de lógica modernos, el teorema de completitud de Gödel es por lo general demostrado mediante la demostración de Henkin, aunque a veces también se utiliza la demostración de Herbrand, en lugar de la demostración original de Gödel.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Kurt Gödel, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls", tesis doctoral, University Of Vienna, 1929. Esta tesis es la fuente original de la demostración del teorema de completitud.
  • Kurt Gödel, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-kalküls", Monatshefte für Mathematik und Physik 37 (1930), 349-360. Este artículo contiene el mismo material que la tesis doctoral en una forma abreviada. Las demostraciones son más cortas, las explicaciones más suscintas, y se ha omitido la extensa introducción.

Enlaces externos[editar]