Anillo conmutativo

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En teoría de anillos (una rama del álgebra abstracta), un anillo conmutativo es un anillo (R, +, ·) en el que la operación de multiplicación · es conmutativa; es decir, si para cualquiera a, bR, a·b = b·a.

Si adicionalmente el anillo tiene un elemento unitario 1 tal que 1a = a = a1 para todo a, entonces el anillo se denomina anillo conmutativo unitario.

La rama de la teoría de anillos que estudia los anillos conmutativos se denomina álgebra conmutativa.

Ejemplos[editar]

  • El ejemplo más importante es tal vez el de los números enteros con las operaciones usuales de suma y multiplicación, ambas conmutativas. Este anillo usualmente se denota por Z, por la palabra alemana Zahlen (números).
  • Los números racionales, reales, y complejos forman anillos conmutativos con las operaciones usuales; más aún, son campos.
  • Más generalmente, todo campo es un anillo conmutativo por definición.
  • El mejor ejemplo de un anillo no conmutativo es el conjunto de matrices cuadradas de 2×2 con valores reales. Por ejemplo, la multiplicación matricial
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
da un resultado distinto que si se invierte el orden de los factores:
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}.
  • Si n > 0 es un entero, el conjunto Zn de enteros módulo n forma un anillo conmutativo con n elementos.
  • Si R es un anillo conmutativo, el conjunto de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevo anillo conmutativo, denotado por R[X].
  • El conjunto de números racionales de denominador impar forma un anillo conmutativo, estrictamente contenido en el anillo Q de los racionales, y que contiene propiamente al Z de los enteros.

Propiedades[editar]

  • Si f : RS es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(af(b) = f(bf(a) = f(b·a).
  • Si f : RS es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.

Véase también[editar]

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