Homomorfismo

En matemáticas, un homomorfismo, (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro de la misma categoría, es una función que preserva la estructuta entre dos estructuras matemáticas relevante. La noción de homomorfismo se estudia abstractamente en el álgebra universal, y ése es el punto de vista tomado en este artículo. Una noción más general de morfismo se estudia abstractamente en la teoría de las categorías. Por ejemplo, en un homomorfismo de orden, si un objeto consiste en un conjunto X con un orden v y el otro objeto consiste en un conjunto Y con orden u, entonces su valor para la función $f:X\Rightarrow Y$ debe ser

$u \leq v \Rightarrow f( u ) \leq f( v )$.

O, si en estos conjuntos hay definidas operaciones binarias + y *, respectivamente, entonces se tiene la relación

$f( u + v ) = f(u) * f(v)$.

Ejemplos de morfismo son los homomorfismos de grupos, los homomorfismos de anillo, los operadores lineales, las funciones continuas, etc.

Definición

Dado dos conjuntos no vacíos A y A', y las leyes de composición interna:

$+:A \times A\rightarrow \;A$

$*:A'\times A'\rightarrow \;A'$

la función $f:A\rightarrow \;A'$ es un homomorfismo respecto de + y * si y sólo si la imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A' para todo a, b pertenecientes a A. Es decir:

$f:A\rightarrow \;A'$ es homomorfismo respecto de + y * $\Longleftrightarrow \; f(a + b) = f(a) * f(b), \forall \;a,b \in \;A$

Cualquier homomorfismo f: X →Y define una relación de equivalencia ~ en X como a ~ b si y solo si f(a) = f(b). En el caso general, este ~ se llama núcleo de f. Al conjunto cociente X/~ se le puede entonces dar una estructura de una manera natural, v.g., [x] * [y] = [x] * [y]. En ese caso la imagen de X en Y bajo el homomorfismo f es necesariamente isomorfa a X/~; este hecho es uno de los teoremas de isomorfía. Nótese que en algunos casos (v.g. grupos o anillos), una sola clase de equivalencia K es suficiente para especificar la estructura del cociente, así que escribimos X/K.

También en estos casos, es K, más bien que ~, el que es llamado el núcleo de f.

Tipos particulares de homomorfismos

• Un homomorfismo suprayectivo se llama epimorfismo.
• Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo.
• Un homomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.
• Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo. Si es además un isomorfismo se llama automorfismo (endomorfismo biyectivo).

En topología, ciertos tipos de isomorfimos reciben nombres particulares:

• Un homeomorfismo es un isomorfismo que preserva las características topológicas.
• Un difeomorfismo es un isomorfismo que preserva las características topológicas y diferenciales.

Véase también

• Morfismo

Referencias

Bibliografía

• Knowledgerush (en inglés)
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Homomorphism» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.