Propiedades de los números enteros

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El conjunto de los números enteros, provisto de las operaciones de adición y multiplicación forman lo que en álgebra abstracta se conoce como el sistema algebraico de anillo.[1]

Estructura de los números enteros[editar]

Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

Construcción formal de los enteros a partir de los naturales[editar]

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo , de donde puede asociarse el número con el par ordenado de números naturales. Sin embargo, debido a que y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado al restar, no puede decirse simplemente que . Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados y puedan ser asociados al mismo número entero si:

(1).

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en cuando . Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

equivale a

Ciertamente para cualesquiera , de tal manera que puede definirse una relación sobre mediante:

si y solo si

La relación es una relación de equivalencia que produce en una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

Luego el cero puede definirse como:

El escoger y (o y para cuando no se acepta ), para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

(2)

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación sobre el producto cartesiano . Esto es, es el conjunto cociente:

(3).

Definición de adición y multiplicación sobre números enteros[editar]

Se define la adición () sobre como sigue:

| info=para todo

teniendo previamente definida la adición sobre . La definición anterior no depende de los representantes escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

La multiplicación () sobre se define como sigue:

| info=para todo

teniendo previamente definida la multiplicación sobre . La definición anterior está correctamente definida debido a que:

Propiedades[editar]

  • En una recta se ubican a la derecha del cero.
  • En ℤ es posible resolver cualquier ecuación de la forma x + a = b
  • En Z hay una nueva operación ( operación binaria interna) la resta
  • ℤ tiene la misma cardinalidad que los conjuntos ℕ, ℚ, y de los enteros gaussianos y algo más, lo mismo que el conjunto de los números algebraicos<ref>Trejo:

Referencias[editar]

  1. Lange: "Algebra"