Número entero algebraico

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En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adición y multiplicación y también es un subanillo de números complejos denotado mediante A. El anillo A es la clausura integral de los enteros regulares ℤ en los número complejos.

El anillo de los números enteros de un cuerpo numérico K, denotado mediante OK , es la intersección de K y A: éste también puede ser caracterizado como el máximo orden del cuerpo K.

Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algún cuerpo numérico. Un número x es un entero algebraico si y sólo si el anillo ℤ[x] es finitamente generado como un grupo abeliano, es decir, como módulo-ℤ.

Definiciones[editar]

Números enteros algebraicos representados como puntos rojos en el plano complejo. Los valores 0, 1, i están indicados.

Las siguientes definiciones de un número entero algebraico son equivalentes; Sea K un cuerpo numérico (por ejemplo, una extensión finita de \mathbb Q), en otras palabras, K = \mathbb{Q}(\theta) para algún \theta \in \mathbb{C} por el teorema del elemento primitivo.

  • \alpha \in K es un entero algebraico si existe un polinomio mónico f(x) \in \mathbb{Z}[x] tal que f(\alpha) = 0.
  • \alpha \in K es un entero algebraico si el polinomio mónico mínimo de \alpha sobre \mathbb Q pertenece a \mathbb{Z}[x].
  • \alpha \in K es un entero algebraico si \mathbb{Z}[\alpha] es un módulo-\mathbb Z finitamente generado.
  • \alpha \in K es un entero algebraico si existe un submódulo-\mathbb{Z} M \subset \mathbb{C} finitamente generado tal que \alpha M \subseteq M.

Los números enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita K / \mathbb{Q}.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977