Recta numérica

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La recta numérica o recta real[1]​ es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada como la entera[1]​ ordenados y separados con la misma distancia.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero.

Recta numérica de los números enteros entre -9 y 9, con los números negativos en rojo y los positivos en azul sobre entendiéndose que se extienden en ambas direcciones ilimitadamente.

Topologías sobre la recta real[editar]

Sobre la recta real se pueden definir diferentes topologías bajo las cuales la recta real tiene propiedades topológicas y geométricas, diferentes de la topología métrica usual.

Topología usual[editar]

Se considera que la recta numérica está compuesta de puntos e intervalos:

Punto interior

Sea H un subconjunto de ℝ. Un punto de H se denomina un punto interior de H, si existe r real positivo tal que <y0 - r, yº +r > ⊂ A. Al conjunto de los puntos interiores de H se nombra interior de H, se denota por int(a). Si el punto y0 está en el interior de A, se dirá que A es entorno de dicho punto.[2]

Ejemplo: Si H = {1}∪[3,5] ∪[6, 8> . Los puntos 1, 3, 5 y 6 no son puntos interiores de H. Mientras int(H) = <3,5>∪<6, 8>.
Tener presente que si H es parte de J entonces el interior de H es parte de del interior de J. También que el interior de H es parte de H.[2]
Conjunto abierto

Un subconjunto K de ℝ se llama abierto, si todo punto de K es punto interior de K. Esto es, K ⊂ Int(K).

Es obvio que ℝ y ∅ son conjunto abiertos.
Cualquier intervalo abierto <m, n>⊂ℝ es un subconjunto abierto de ℝ
La intersección de <-1, 1/n> con <-1/n, 1> es un subconjunto abierto de ℝ, para cualquier n entero positivo
<2, 8> - [4, 6] es un subconjunto abierto de ℝ.
Para cualquier conjunto de números reales su interior es un conjunto abierto.[2]

Propiedades topológicas[editar]

  1. La unión de una familia de abiertos de ℝ es un abierto.
  2. La intersección de dos abiertos de ℝ es un abierto de ℝ( considerando el conjunto vacío como abierto ).
  3. La intersección arbitraria de infinitos abiertos no tiene por que ser un abierto.
  4. Los intervalos <m, +∞> <-∞, p> son conjuntos abiertos; para el caso, el primero es la unión de los abiertos <m, m +n>, n recorre todo ℤ+.[2]
Punto adherente

Dados el subconjunto M de números reales y el punto real y0, diremos que este punto es adherente a M si la intersección de M con cualquier intervalo simétrico que contiene a y0 es no vacía. Al conjunto de puntos adhrentes a M se llama adherencia (clausura) de M y se denota adh(M) o Cl(M).[3][4]

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. a b Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
  2. a b c d Barbolla et al: Introducción al análisis real ISBN 84-205-0771-7
  3. Pontryaguin: Grupos continuos
  4. Munkres: Topología

Enlaces externos[editar]