Teorema de Heine-Borel

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En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de o de sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.[cita requerida]

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:

  1. es cerrado y acotado.
  2. es compacto.
  3. Todo subconjunto infinito de tiene un punto de acumulación en .

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.

Demostración[editar]

Teoremas preliminares[editar]

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea un conjunto cerrado y un conjunto compacto tales que .

Sea una cubierta abierta de , entonces es una cubierta abierta de (podemos agregar ya que es abierto). Como es compacto entonces tiene un refinamiento finito que también cubre a . Podemos quitar a y sigue cubriendo a . Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de

Si , donde es un conjunto infinito y es compacto, entonces tiene un punto de acumulación en

Si no tuviera puntos de acumulación en entonces donde es una epsilon-vecindad y . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para que contradiría la definición de que es compacto.

Toda k-celda es compacta

Sea una k-celda que consiste de todos los puntos x tal que y . Sea entonces si . Sea una cubierta arbitraria de y supongamos que no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.

Tomemos entonces los intervalos determinan celdas . Entonces por lo menos un no se puede cubrir con una cantidad finita de 's. Lo llamaremos y así obtenemos una sucesión tal que:

  1. .
  2. no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.
  3. Si entonces .

Digamos que , como cubre a entonces . Como es abierto . Si tomamos n suficientemente grande tal que tenemos que este lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.

Demostración del teorema de Heine-Borel[editar]

Si cumple 1) entonces para alguna k-celda , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si no es conexo entonces contiene un conjunto {} tal que entonces el subconjunto {} es finito y tiene un límite en , lo cual contradice 3). Si no es abierto entonces existe un elemento que es un punto de acumulación de pero no está en . Para existen tales que , entonces el conjunto {} es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).

Véase también[editar]