Número racional

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Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;[1] es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los números reales (\mathbb{R}).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica. [2]

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre \mathbb{Z}.

Construcción formal[editar]

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

2,5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

Demostración
\forall \left(a,b\right) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\},\forall \left(c,d\right) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\},\ (a,b)\,\mathcal{R}\,(c,d) \Longleftrightarrow ad=bc.

De esta manera \mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\}/\mathcal{R}, es decir que el conjunto de los números racionales es el cociente \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} por la relación de equivalencia.

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

\begin{matrix}
\mathbb{Q} \subset \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\} \\
\mathbb{Q} = \mathrm{IrrFrac}(\mathbb{Z}) =
\left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};\ q>0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\}
\end{matrix}

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}

Clase de equivalencia[editar]

Sea el conjunto 
   H = Z \times Z^* =
   \{ (a, b) \}
de pares ordenados de números enteros, con la segunda componente distinta de 0.

Diremos que (a,b) R (c,d) s.s.s. ad = bc; en este caso R es una relación de equivalencia en el conjunto H. De tal modo que la relación de equivalencia R determina en H una partición y a cada elemento del conjunto cociente H/R se llama número racional; en este contexto, un número racional es una clase de equivalencia.

Por ejemplo,  [1,2] =
   \{ (1, 2), (2,4)(3,6)... \}
es la clase de equivalencia del número racional conocido como 1/2 .

Representante canónico se llama al par (a,b)si el m.c.d (a,b)= 1. cualquier otro par se usa en el caso de operaciones. Al sumar 1/2 con 2/3 se les reemplaza respectivamente por 3/6 y 4/6. [3]

Aritmética de los números racionales[editar]

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

Propiedades algebraicas[editar]

Suma[editar]

que es

  • Asociativa. (\frac{a}{b}+\frac{c}{d}) +\frac{e}{f} =\frac{a}{b}+(\frac{c}{d} +\frac{e}{f})
  • Conmutativa. \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}
  • Existe el elemento neutro:  \frac{0}{h} tal que \frac{a}{b}+ \frac{0}{h}= \frac{a}{b} para cualquier \frac{a}{b} . Se nombra cero y se denota 0.
  • Elemento opuesto. Para cualquier número racional \frac{a}{b} existe -\frac{a}{b} , llamado elemento opuesto, tal que \frac{a}{b}+ (-\frac{a}{b})= 0

Diferencia. La ecuación \frac{a}{b}+ x = \frac{c}{d} tiene como solución x = \frac{c}{d}+(-\frac{a}{b})

La diferencia \frac{c}{d} -  \frac{a}{b}  = \frac{c}{d}+(-\frac{a}{b}) .

La operación que a todo par de números racionales, le hace corresponder su diferencia se llama resta y se la considera operación inversa de la suma. [4]

Multiplicación[editar]

  • Se define la multiplicación \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b\times d}
  • Asociativa
  • Conmutativa
  • Existe elemento neutro representado por \frac{p}{p}= 1 , distinto de 0, tal que \frac{a}{b}\times 1 = \frac{a}{b}
  • Inverso multiplicativo. Para todo número racional q, distinto de 0, existe q-1,llamado inverso multiplicativo tal que  q\times q^{-1} = 1

Se define el cociente de r entre s distinto de 0, al producto r\times s^{-1} . En otra notación, \frac{a}{b}\div \frac{c}{d}= \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} .

A la operación que a todo par de racionales, divisor distinto de cero, le hace corresponder su cociente, se llama división, que no es una operación totalmente definida; pero se asume que es una operación inversa de la multiplcación que resuelve la ecuación px = s , p\neq 0.

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se llaman operaciones racionales [5] .


Propiedad distributiva para los números racionales  q_1, q_2, q_3 se cumple  (q_1+ q_2)\times q_3= q_1\times q_3 + q_2\times q_3 [6]

Capacidad resolutiva[editar]

  • En el sistema numérico ℚ se pueden resolver las ecuaciones de primer grado:  p\cdot x = r, p\cdot x+m = r,  p\neq 0;  .

La ecuación en  x

m\cdot x = p,  m\neq 0.  
 ,
m, p Q posee la única solución en número racional:
x= m^-1\cdot p = \frac{1}{m}\cdot p = p\cdot \frac{1}{m}

. este resultado no siempre es posible en ℤ.[7]


  • También en ℚ, se puede resolver una ecuación de segundo grado
     ax^2+bx+c = 0

si el discriminante

\Delta = b^2-4ac > 0

y es cuadrado perfecto: hay dos raíces racionales; en el caso de que

\Delta = b^2-4ac = 0

hay una raíz racional doble. [8]

Relaciones de equivalencia y orden[editar]

  • Se define la equivalencia \frac{a}{b}=\frac{c}{d} cuando  ad = bc \,
  • Los racionales positivos son todos los \frac{a}{b} tales que  ab > 0 \,
  • Los racionales negativos son todos los \frac{a}{b} tales que  ab < 0 \,
  • El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces \frac{a}{b}>\frac{c}{d} cuando  ad - bc > 0

Equivalencias notables[editar]

  • Todo número entero  p \, se puede escribir como fracción \frac{p}{1}
  • \frac{ca}{cb}=\frac{a}{b} con c\neq 0 y b\neq 0
  • \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
  • \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}
  • \frac{0}{a}=0 con a\neq 0
  • \frac{a}{a}=1 con a\neq 0 .

Propiedades[editar]

  • El conjunto \Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros \Z.
  • Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
  • La clausura algebraica de \Q, es el conjunto de los números algebraicos.
  • El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre \N y \Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
  • Propiedad arquimediana: el conjunto \Q es denso en \R por construcción misma de \R; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.
  • Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: q = u p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n} donde p_i\in \mathbb{N} son números enteros primos, \alpha_i\in \mathbb{Z} (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y u\in\{1,-1\}. Por ejemplo 260/693= 2^2 3^{-2}5^1 7^{-1}11^{-1}13^1\,.

Escritura decimal[editar]

Representación racional de los números decimales[editar]

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

  • Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.
    • Ejemplo: 34,65 = \frac{3465}{100}
  • Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.
    • Ejemplo: 15,3434\dots=\frac{1534-15}{99}
  • Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.
    • Ejemplo: Sea el número 12,345676767\dots entonces a=1234567 \, y b=12345 \,, por lo que la fracción correspondiente será {1234567-12345}\over{99000}, es decir: {1222222}\over{99000}.

Desarrollo decimal de los números racionales[editar]

El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:

  • Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
  • Ejemplo:
\frac 8 5 = 1,6
  • Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}
  • Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}

Nota: lo mismo se aplica al desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases[editar]

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.

  • Ejemplos:
    • En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2^n*5^p (n y p enteros).
    • En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Propiedades topológicas del conjunto de los números racionales[editar]

  • Sea el conjunto H de los números racionales en el intervalo cerrado [0, 1], entonces H no tiene puntos aislados, todo punto de H es punto de acumulación, los restantes punto de ℝ son exteriores a H. Entre los puntos de acumulación de H algunos están en él y otros no. Cada punto de H es un punto frontera, pues su vecindad contiene puntos de H y de su complemento. H no tiene puntos interiores, ninguna vecindad de un elemento de H está contenida en H; no es un conjunto conexo ya que todo [m,n] con elementos m,n de H no es parte de H.[9]

Propiedades algebraicas[editar]

  • ℚ con la adición forma un grupo conmutativo
  • El conjunto  Q^* de los números racionales no nulos, con la multiplicación, forma un grupo multiplicativo abeliano
  • <ℚ, +, *> es un cuerpo conmutativo
  • En ℚ hay dos operaciones asociativas y conmutativas: adición y multiplicación y dos operaciones no conmutativas ni asociativas: la resta y la división, con elementos identidades por la derecha.
  • En ℚ, siempre es posible resolver una ecuación ax = b, donde a \neq 0
  • Históricamente, los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios [10]
  • Sea H = {0, 1, -1} con la adición y multiplicación usuales posee la estructura de cuerpo.
  • Sea el conjunto P = {2n / n es un entero}, <P, * > constituye un grupo múltiplicativo, donde * es el producto usual de números racionales.
  • El conjunto de los números racionales de la forma  \frac{p}{1} donde p es un número entero, se denomina el conjunto de los números racionales enteros.

Número p-ádico[editar]

Sea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|_p=p^{-n} donde p^n es la mayor potencia de p que divide a a.

Si |0|_p=0 y para cada número racional a/b , |a/b|_p=|a|_p/|b|_p entonces la función multiplicativa d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p define una métrica sobre \Q.

El espacio métrico \left(\Q,d_p\right) no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos \Q_p. El teorema de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre \Q es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.[11]

Referencias y notas[editar]

  1. Elena de Oteyza de Oteyza. Álgebra. Pearson Educación, 2003. 
  2. Tsipkin. Manual de Matemática
  3. César Trejo. Concepto de número
  4. Adaptación de la monografía El concepto de número de César trejo. Edición de la OEA.
  5. Trejo. Op. cit.
  6. Trejo. Op. cit.
  7. Álgebra Moderna de Schaumm
  8. Álgebra moderna de Dolciani y otros
  9. Según la topología usual de los reales. Bartle-Sherbert: Introducción al análisis de una variable ISBN 968-18-1725-7
  10. Herstein: Algebra moderna
  11. Consultar Aritmética elemental de Renzo Gentile

Véase también[editar]

Clasificación de números
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
1: uno
Naturales primos
Naturales compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]