Topología traza

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En topología, la topología traza (también, inducida o relativa) es la topología que se define sobre un subconjunto a partir de la topología del espacio topológico .

Definición formal[editar]

Sean un espacio topológico e un subconjunto de . Entonces, la topología traza sobre es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica , es decir, la aplicación definida por .

Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre son las intersecciones de con los abiertos de :

.

La topología traza se denota mediante y se dice que es un subespacio topológico del espacio . Si la aplicación es abierta, se dice que es un subespacio abierto, y que es un subespacio cerrado si es cerrada.

Propiedades[editar]

Propiedades de la topología traza sobre un subespacio :[1]

  • Un conjunto es abierto en la topología si, y sólo si, existe un abierto tal que .
  • Un conjunto es cerrado en la topología si, y sólo si, existe un cerrado de tal que .
  • Si , entonces .
  • Si es un subespacio abierto de , un conjunto es abierto en si, y sólo si, es abierto en .
  • Si es un subespacio cerrado de , un conjunto es cerrado en si, y sólo si, es cerrado en .

Propiedades hereditarias[editar]

Una propiedad topológica se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple también cumplen .

Ejemplos de propiedades que son hereditarias:[2]

La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
  • Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

Referencias[editar]

  1. Llopis, José L. «Topología inducida (subespacio)». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 8 de octubre de 2019. 
  2. Llopis, José L. «Propiedades topológicas hereditarias». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de octubre de 2019. 

Enlaces externos[editar]