Característica (matemática)

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En álgebra abstracta, la característica de un anillo R es definida como el entero positivo más pequeño n tal que 1_R + \overset{n \text{ sumandos}}{\ldots} + 1_R = 0. Si no existe tal n, se dice que la característica de R es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo R como el único número natural n tal que R contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

El caso de anillos[editar]

Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillos

R \rightarrow S,

entonces la característica de S divide la característica de R. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial R no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 ó primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} de los enteros módulo n tiene característica n. Si R es un subanillo de S, entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si q(X) es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} donde p es primo, entonces el anillo factor (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]/(q(X)) es un cuerpo de característica p. Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo R tiene característica prima p, entonces se tiene que (x+y)^p= x^p+y^p para todo elemento x e y en R.

La aplicación

f(x)= x^p

define un homomorfismo de anillos

R \rightarrow R,

Este es llamado el homomorfismo de Frobenius. Si R es un dominio de integridad este es inyectivo.