Axiomas de los números reales

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En matemáticas para que una afirmación sea considerada válida debe o bien estar contenida dentro de una base de afirmaciones de partida, los denominados axiomas, o debe poder demostrarse a partir de los mismos. Los axiomas son por tanto los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.

Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axiomas no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no resulta trivial.m,mm

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:

  • Los axiomas algebraicos
  • Los axiomas de orden
  • El axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.

Existe un conjunto que tiene estas propiedades.

Axioma fundamental[editar]

Existe un conjunto que se denota por que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los Números Reales y serán los axiomas de este conjunto, las bases de una rama muy importante de la matemática: el Análisis matemático.

Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.

Axiomas Algebraicos[editar]

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.

1. Axiomas de la adición

A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamamos la suma de e .
A1.2 para todo .
A1.3 para todo .
A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que para todo .
A1.5 Para cada existe un tal que .

2. Axiomas de la multiplicación

A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamaremos el producto de e .
A2.2 para todo .
A2.3 para todo .
A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que
A2.5 Para cada tal que no sea cero, existe un tal que .

3. Axioma de distribución Este axioma conecta la suma con la multiplicación:

A3.1 Para todo .

Análisis axiomático[editar]

  • El axioma (1.2)conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Se generaliza para n sumandos.
  • El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la asociación de la suma no altera el valor de ésta.
  • El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier número real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce también como el elemento neutro aditivo de este conjunto.
  • El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal que la suma de ambos es nula. Si este elemento es , el número tal que la suma de éste y el otro número sea cero es . Este elemento se llama opuesto aditivo de .
  • El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.
  • El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conoce como propiedad asociativa de la multiplicación.
  • El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de éste con otro real, sigue siendo este último. Este elemento denotado por se conoce como neutro multiplicativo.
  • El axioma (2.5) dice que para cualquier real no nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por se conoce como inverso multiplicativo de .

Axiomas de orden[editar]

Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya conocemos.

Se dirá que o sólo si es menor que . O dicho de otra forma, si es mayor que .

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto tal que si y sólo si .

Se dan a continuación los axiomas de orden


O1.1 Si , entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:
; ;
O1.2 Si y además , entonces .
O1.3 Si , entonces para todo
O1.4 Si y , entonces .

Análisis axiomático[editar]

  • El axioma (1.2) dice geométricamente que si está a la izquierda de y éste a su vez a la izquierda de , entonces debe estar a la izquierda de . Esta interpretación es bastante útil.

(R,+, ⋅ , ≤) es un cuerpo ordenado.

Axioma topológico[editar]

Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente, si se quiere.


Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Análisis axiomático[editar]

Hay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muy importante), que deben conocerse para entender el significado de este axioma. Éstos, son los de sucesión, creciente, acotado superiormente y convergencia.

Si tenemos una sucesión infinita de números reales , decimos que es creciente (débilmente) si para todo . La sucesión es acotada superiormente si existe una constante real tal que . En este caso, el axioma topológico dice que si la sucesión es creciente y acotada superiormente, entonces es convergente, es decir, existe un número real que es el límite de la sucesión: .

Puede verse que los números racionales no satisfacen este axioma. Por ejemplo, si se toma la secuencia de aproximaciones decimales de donde , , y en general es el número con las primeras cifras decimales de , entonces todos los son números racionales que satisfacen las condiciones del axioma, pero el límite no se encuentra en los racionales. Por otra parte, el axioma topológico nos dice que existe un número real que es el límite de cualquier sucesión que se obtenga al tomar las cifras decimales parciales de una secuencia de dígitos arbitraria. De esta forma las representaciones decimales infinitas no periódicas representan siempre números reales, y es posible demostrar que todo número real puede escribirse como el límite de una de estas secuencias, aunque no siempre de manera única.

Referencias[editar]

Véase también[editar]