Límite de una sucesión

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Sucesión 001.svg

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia, una sucesión de elementos de un conjunto es convergente si y solo si en el mismo conjunto existe un elemento (al que se le conoce como límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como se desee a partir de un momento dado. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión (véase distancia).

Límite de una sucesión de números reales[editar]

Definición formal[editar]

El término general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:

.

Notación[editar]

o bien

o también

o simplemente

Ejemplos[editar]

  • La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
  • La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
  • La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
  • Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.

Propiedades[editar]

  • Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
  • Si una sucesión tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
  • Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
  • Si una sucesión tiende a menos infinito y entonces tiende a 0.

Límite de una sucesión compleja[editar]

Se dice que la sucesión converge hacia un complejo si y solo si

Nótese que es la misma definición que para , con módulo en lugar del valor absoluto.

Se puede escribir

o más simplemente, si no hay ambigüedad

Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene módulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, es también completo).

Ejemplos[editar]

  • Sucesiones en ó
  • Sucesiones en
  • Sucesiones en el espacio
  • Sucesiones en el espacio
  • Sucesiones en el espacio de las funciones continuas

Tipos de convergencia[editar]

Convergencia puntual[editar]

El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.

Una sucesión de funciones definidas en un conjunto no vacío con valores en un espacio métrico converge puntualmente a una función si

para cada fijo. Esto significa que

(5)

La sucesión de funciones con converge puntualmente a la función puesto que

para cada fijo.

Convergencia uniforme[editar]

Una sucesión de funciones definidas en un conjunto no vacío con valores en un espacio métrico converge uniformemente a una función si para todo existe un entero (que depende de ) tal que

para todo y todo . Es decir,

(6)

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), puede depender de y de mientras que en (6), sólo puede depender de . Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones definidas por . Esta sucesión converge puntualmente a la función

ya que

mientras que Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para no existe un que satisfaga (6).

De especial interés es el espacio de las funciones continuas definidas sobre un compacto En este caso, una sucesión de funciones converge uniformemente a una función si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,

Sucesiones en otros espacios matemáticos[editar]

Una sucesión de elementos de un espacio métrico converge a un elemento si para todo número existe un entero positivo (que depende de ) tal que

(1)

Intuitivamente, esto significa que los elementos de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a si es suficientemente grande, ya que determina la distancia entre y . A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.

La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado la norma induce la métrica para cada ; en el caso de un espacio con producto interno el producto interno induce la norma para cada

Convergencia uniforme sobre compactos[editar]

Convergencia débil[editar]

Una sucesión se dice que converge débilmente a x o en sentido débil si para toda funcional lineal f, f(Xn) converge a f(X).

Por ejemplo la serie 1/n desde n=1 hasta infinito converge débilmente a cero. Pues: lim f(1/n) = lim n/n*f(1/n) = lim 1/n*f(n/n) = lim 1/n*f(1) = 0 Todo esto, pues f es lineal.

Límite en un espacio topológico[editar]

Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos en un espacio topológico T:

Si se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe
si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que para todo

De forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes,[cita requerida] pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).

Teoría de la probabilidad[editar]

En teoría de la probabilidad existen diferentes nociones de convergencia: convergencia de funciones medibles, convergencia en distribución y límites de variables aleatorias.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]