Supremo

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A(diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado (P, <), el supremo de S, si existe, es el mínimo elemento de P que es mayor o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup(S).

Definiciones[editar]

Sea T un subconjunto de R.

  1. Si T está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de T si es menor que cualquier cota superior de T.
  2. Si T está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de T si es mayor que cualquier cota inferior de T. [1]

Propiedades[editar]

  • s es supremo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota superior de T y si sólo si para toda ε > 0 existe sε en T tal que s-ε < sε.
  • r es ínfimo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota inferior de T y si sólo si para toda ε > 0 existe rε en T tal que r+ε > sε.
  • Sea L un subconjunto acotado de números reales. A su vez K un subconjunto no vacío de L, entonces se cumple que inf L ≤ inf K ≤ sup K ≤inf L. [2]
  • Si el supremo existe, entonces es único
  • \sup(A \cup B)= \max\{\sup(A),\sup(B)\}, si es que dichos supremos existen
  • Un conjunto tiene máximo, si y solo si el supremo es elemento de dicho conjunto.

Ejemplos[editar]

  • En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido dentro del subconjunto.
  • \sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,
  • \inf \{ 1, 2, 3 \} = 1\,
  • \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \}  =  \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x  \leq 1 \} = 1\,
  • \inf \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \}  =  \inf \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x  \leq 1 \} = 0\,
  • \sup \{ x \in \mathbb{Q^{+}} | x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,
  • \inf\{x\in {\mathbb  {Q^{{+}}}}|x^{2}<2\}=0\,
  • \sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \} = 1\,

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Bartle- Sherbert. Introducción al analisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
  2. Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I

Literatura de consulta[editar]