Número decimal periódico

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Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:


   \cfrac{1}{3} =
   0,\boldsymbol{3}\,333\dots
   \; ; \quad
  \cfrac{1}{7} =
  0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:


   \cfrac{2}{3} =
   0, \overset{\frown}{6}
   \; ; \quad
   \cfrac{12}{11} =
   1, \overset{\frown}{09}

Tipos de números periódicos[editar]

  • Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
    • Ejemplo: 0,999\dots = 0,\bar{9}
  • Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
    • Ejemplo: 1.23444\dots = 1.23 \bar{4}, en donde 23 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico[editar]

Una fracción puede dar un número decimal periódico:


   \begin{array}{l}
      \cfrac{1}{9}  = 0,111111111111...\\
      \cfrac{1}{7}  = 0,142857142857...\\
      \cfrac{1}{3}  = 0,333333333333...\\
      \cfrac{2}{27}  = 0,074074074074...\\
      \cfrac{7}{12} = 0,58333333333...
   \end{array}

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:


   \begin{array}{rcll}

       x & = & 0,333333\ldots\\
     10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}      \\
      9x & = & 3              & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
                                                                                  \\
       x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3}  & \text{(simplificando)}
   \end{array}

Otro ejemplo:


   \begin{array}{rcl}
         x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\
      100x & = & 285,63636363\ldots \\
       99x & = & 282,78
   \end{array}

   x =
   \frac{282,78}{99} =
   \frac{28278}{9900} =
   \frac{1571}{550}

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

  • Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
Ejemplo:

   5,34\ 34\dots =
   \frac{534-5}{99} =
   \frac{529}{99}
  • Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo:

   12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
   \frac{1234567-12345}{99000} =
   \frac{1222222}{99000} =
   \frac{611111}{49500}

Tipo de número periódico resultante[editar]

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:


   \cfrac{7}{20}

como:


   20 = 2 \cdot 2 \cdot 5

será exacta; en efecto


   \cfrac{7}{20} =
   \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
   \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
   \cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
   \cfrac{35}{100} =
   0,35

Otro ejemplo:


   \cfrac{7}{25}

como:


    25 = 5 \cdot 5

será exacta; en efecto:


   \cfrac{7}{25} =
   \cfrac{7}{5 \cdot 5} =
   \cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
   \cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
   \cfrac{28}{100} =
   0,28
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:


   \cfrac{5}{21}

como:


   21 = 3 \cdot 7

será periódica pura; en efecto:


   \cfrac{5}{21} =
   0,238095\ 238095\ 238095\dots
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:


   \cfrac{5}{42}

como:


   42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

será periódica mixta, en efecto:


   \cfrac{5}{42} =
   0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots

mas no es seguro un resultado proximo

Véase también[editar]

Clasificación de números
Complejos \mathbb{C}
Reales \mathbb{R}
Racionales \mathbb{Q}
Enteros \mathbb{Z}
Naturales \mathbb{N}
1: uno
Naturales primos
Naturales compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios

Referencias[editar]