Cuerpo de cocientes

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El cuerpo de fracciones de un dominio de integridad es el mínimo cuerpo que contiene a dicho dominio (dadas las propiedades de un dominio de integridad puede probarse que dicho cuerpo existe). El cuerpo de fracciones de un dominio de integridad R es a veces denotado por Q(R), \mathrm{Quot}(R) o \mathrm{Frac}(R).

Construcción[editar]

Existencia[editar]

Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe "el menor cuerpo que lo contiene". De forma más precisa:

Sea R un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por R^* al conjunto R \setminus \{0\}. Establecemos en el conjunto R \times R^* la relación \mathcal{R} definida por (a,b) \mathcal{R} (c,d) cuando y sólo cuando a \cdot d = b \cdot c. Es sencillo comprobar que \mathcal{R} es una relación de equivalencia. Denotaremos por Q(R) al conjunto cociente (R \times R^*)/\mathcal{R}, y por \frac{a}{b} a la clase de equivalencia del par ordenado (a,b).

Operaciones suma y producto[editar]

Suma[editar]

Definimos la suma  +: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R) de la siguiente manera:  + \left ( \tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d} \right ) := \tfrac{a}{b} + \tfrac{c}{d} = \tfrac{(a \cdot d) + (b \cdot c)}{b \cdot d}, cualesquiera que sean \tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d} \in Q(R). Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro \tfrac{0}{1} y que todo elemento \tfrac{a}{b} \in Q(R) tiene por elemento simétrico (elemento opuesto) a - \tfrac{a}{b}. Así, (Q(R),+) es un grupo abeliano.

Producto[editar]

Definimos la multiplicación  \cdot: (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \times (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \longrightarrow Q(R) de la siguiente manera:  \cdot (\tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d}) := \tfrac{a}{b} \cdot \tfrac{c}{d} = \tfrac{a \cdot c}{b \cdot d}, cualesquiera que sean \tfrac{a}{b},\tfrac{c}{d} \in Q(R) \setminus \{ 0 \}. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro \tfrac{1}{1} y que todo elemento \tfrac{a}{b} \in Q(R) tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a  \tfrac{b}{a}. Así, (Q(R) \setminus \{ 0 \},\cdot) es un grupo abeliano.

Distributividad[editar]

Se demuestra sin dificultad que · es distributiva respecto de +. Esto hace que (Q(R),+,\cdot) quede dotado de estructura de cuerpo.

Ejemplos[editar]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Ėrnest Borisovich Vinberg (2003). A course in algebra. p. 131. 
  2. Stephan Foldes (1994). Fundamental structures of algebra and discrete mathematics. p. 128. 
  3. Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra. p. 124. 

Enlaces externos[editar]