Cuerpo de cocientes

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El cuerpo de fracciones de un dominio de integridad es el mínimo cuerpo que contiene a dicho dominio (dadas las propiedades de un dominio de integridad puede probarse que dicho cuerpo existe). El cuerpo de fracciones de un dominio de integridad es a veces denotado por , o .

Construcción[editar]

Existencia[editar]

Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe "el menor cuerpo que lo contiene". De forma más precisa:

Sea un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por al conjunto . Establecemos en el conjunto la relación definida por cuando y sólo cuando . Es sencillo comprobar que es una relación de equivalencia. Denotaremos por al conjunto cociente , y por a la clase de equivalencia del par ordenado .

Operaciones suma y producto[editar]

Suma[editar]

Definimos la suma de la siguiente manera: , cualesquiera que sean . Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro y que todo elemento tiene por elemento simétrico (elemento opuesto) a . Así, es un grupo abeliano.

Producto[editar]

Definimos la multiplicación de la siguiente manera: , cualesquiera que sean . Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro y que todo elemento tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a . Así, es un grupo abeliano.

Distributividad[editar]

Se demuestra sin dificultad que · es distributiva respecto de +. Esto hace que quede dotado de estructura de cuerpo.

Ejemplos[editar]

  • El cuerpo de fracciones del anillo de números enteros es el cuerpo de los números racionales, .
  • SEa el anillo de enteros gaussianos. Entonces , es el cuerpo de los gaussianos racionales , ejemplo de cuerpo de números algebraicos y cuerpo cuadrático.
  • El cuerpo de fracciones de un cuerpo es canónicamente isomorfo a ese cuerpo mismo.
  • Dado un cuerpo , el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios en una indeterminada (que es un dominio integral), se llama cuerpo de funciones racionales o cuerpo de fracciones racionales[1] [2] [3] y se denota como .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Ėrnest Borisovich Vinberg (2003). A course in algebra. p. 131. 
  2. Stephan Foldes (1994). Fundamental structures of algebra and discrete mathematics. p. 128. 
  3. Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra. p. 124. 

Enlaces externos[editar]