Entero gaussiano

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Un entero gaussiano es un número complejo en el que tanto la parte real como la imaginaria son números enteros.

El conjunto de los enteros de Gauss, dotado de la suma y producto ordinarios con números complejos, forma un anillo conmutativo con unidad y luego un dominio de integridad conmutativo y unitario, generalmente se denota como ℤ[i], donde i designa la unidad imaginaria. Una estructura de esta naturaleza posee numerosas propiedades, agrupadas con el nombre de dominio de Dedekind. Además, lo que aún es más extraordinario, es un dominio euclídeo y por lo tanto factorial.

Los enteros de Gauss son utilizados en teoría de números algebraicos y en aritmética modular, por ejemplo, para el estudio de ecuaciones diofánticas. El empleo de este sistema algebraico facilitó a Carlos Federico Gauss probar la ley de reciprocidad cuadrática.

Enteros gaussianos en el Plano complejo.

Formalmente, el conjunto de los enteros gaussianos se define como un subconjunto propio de los números complejos, siendo la parte real y la parte imaginaria números enteros, se denota:

\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{Z} \}.

siendo i2 = -1.

Norma[editar]

La norma de un número gaussiano es el número natural definido como:

N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}.

La norma es multiplicativa, i.e.

N(z\cdot w) = N(z)\cdot N(w).

La norma guarda cierta similitud con el valor absoluto y su raíz cuadrada es la distancia euclídea del entero gaussiano a+bi al origen del plano complejo; La norma de los enteros gaussianos es adecuada para el estudio de la divisibilidad de estos.

Las unidades de Z[i] son, por lo tanto, precisamente aquellos elementos con norma 1, es decir, los elementos

1, −1, i y −i. Estos como puntos del plano gaussiano o ℝ2 son simétricos respecto del orígen , del eje real y del eje imaginario [1]

Álgebra[editar]

  1. El conjunto de los enteros gaussianos provisto de la suma es un grupo abeliano, con elemento neutro: 0.
  2. El mismo conjunto Z[i] proveído del producto de números complejos es un anillo conmutativo, con elemento unitario: 1. Las unidades son 1, -1, i, -i; esto es, sus inversos mulplicativos están en Z[i].
  3. Dicho conjunto es un dominio entero, pues no tiene divisores de cero. Pues  zw = 0 implica z = 0 ó w = 0. [2]
  4. Además Z[i] es un dominio euclidiano. Dados los enteros gaussianos a, b ≠ 0 existen los enteros gaussianos q y r tal que a=bq+r, siendo 0 ≤ν(r)≤ ν(b) [3]
  5. Todo número entero es entero gaussiano. Además un entero gaussiano imaginario es un número algebraico de segundo grado. [4] .

Factores[editar]

Se dice que el entero gaussiano b es un factor del entero gaussiano a, si existe c gaussiano no nulo tal que a= bc y se denota b|a.

  • como ejemplo 4 + 3i = (2 -i) (1 +2i); 2 -i divide a 4 + 3i
  • En caso de que el entero gaussiano no tenga divisores se denomina irreducible[5]

Número gaussiano primo[editar]

Un entero gaussiano π es un número gaussino primo si su norma es mayor que 1 y que él mismo no puede descomponerse en un producto de dos gaussianos enteros, cuyas normas sean menores que la del número π. Ejemplos

  •  \pi_1 = 2+i de norma  N(\pi_1)= 5
  •  \pi_2 = 4+i de norma  N(\pi_2)= 17 .

Comúnmente, serán números gaussianos primos todos aquellos cuyas normas sean números racionales primos.[6]

Teorema de la factorización[editar]

todo número gaussiano entero α ≠ 0 puede descomponerse en un producto de números gaussianos primos

\alpha = \pi_1\pi_2...\pi_k

(los  \pi_i son números gaussianos primos que pueden no ser diferentes).

esta descomposición es unívoca, en la siguiente manera . si se da otra descomposiciób

\alpha = \beta_1\beta_2...\beta_l

, ambas descomposiciones tienen el mismo número de factores , k = l, y ellas pueden diferir apenas en el orden de factores y de los factores que sean divisores de la unidad. Esta proposición es análoga a una proposición referida a la descomposición de un número racional entero no primo.

Definición[editar]

Dos números gaussianos enteros se denominan asociados si difieren entre sí en un factor igual a un divisor de la unidad, de otra forma \beta, -\beta, i\beta, -i\beta serán número gaussianos enteros asociados si β es un número gaussiano entero arbitrario.[7]

Racionales primos[editar]

Son los enteros positivos mayores que 1, admiten exactamente dos divisores, tales como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Sin embargo, algunos de ellos no son números gaussianos primos:

  • 2 = (1+i)(1-i)= i(1-i)^2.
  •  5 = (2+i)(2-i)= (1+2i)(1-2i)
  •  13 = (2+3i)(2-3i)= (3+2i)(3-2i);
  • los racionales primos de la forma  t= 4n+1, donde n es entero positivo, no son números gaussianos primos.
  • En cambio los racionales primos de la forma  s= 4n+3, donde n es entero positivo, sí lo son; pues no pueden ser norma de un gaussiano entero.[8]

Proposiciones[editar]

  1. Todo número gaussiano primo es divisor de un número racional primo. Por ejemplo 2-i divide a 5; también divide a 4+3i.
  2. La norma de un número gaussiano primo es un número racional primo o el cuadrado de un racional primo. Si z= 1+i, entonces su norma es 2=(1+i)(1-i)
  3. Para que un número racional entero pueda representarse como la suma de dos cuadrados es necesario y suficiente que los números primos de la forma 4n+3 figuren con exponentes pares en la descomposición de tal número en factores primos. Como ejemplo,  900= 30^2=18^2+24^2 en la descomposición de 900 figura 9, el cuadrado del número racional primo 3=0\cdot 4+3. [9]

Como dominio de ideales principales[editar]

Los enteros gaussianos forman un dominio de ideales principales con las unidades 1, −1, i, y −i. Si x es un entero gaussiano, los cuatro números x, ix, −x, y −ix se llaman «asociados de x». Como cualquier dominio de ideales principal, los enteros gaussianos forman también un dominio de factorización única. Hay campos cuadráticos que tienen infinidad de unidades o sea que su norma es 1.[10]

Los elementos primos de Z[i] son también conocidos como primos gaussianos. Un asociado de un primo gaussiano es también un primo gaussiano. Los primos gaussianos son simétricos sobre los ejes real e imaginario. Los primos gaussianos que son enteros positivos son los números primos congruentes con 3 módulo 4, (sucesión A002145 en OEIS). No se podría referir uno únicamente a esos números como «los primos gaussianos», el término se refiere a todos los primos gaussianos, muchos de los cuales no están en Z.[11] Para el caso 1 + i que es factor de 2[12] .

5, como número racional entero, es un número primo, pero como entero gaussiano no es un elemento primo; pues 5 = (2+i)(2-i), estos factores sí son elementos primos en Z[i][13]

Máximo común divisor[editar]

Véase también[editar]

Referencias y notas[editar]

  1. Lars V. Ahlfors. Complex Analysis
  2. Castro Puche. Álgebra moderna ISBN 978-958-648-850-1
  3. Hefez. Álgebra I
  4. Se prueban estas proposiciones, mediante las pertinentes definiciones
  5. Fraleigh: Álgebra abstracta
  6. Niven- Zuckerman. Introducción a la teoría de números
  7. Niven- Zuckerman. Op. cit.
  8. Hefez. Álgebra I
  9. Niven Zuckerman. Introducción a la teoría de números
  10. Jones: Teoría de números, Limusa, México D. F.
  11. [1], OEIS sequence A002145 "COMMENT" section
  12. Basta múltiplcar por 1 - i, es irreducible como su conjugado
  13. Castro Puche. Op. cit.

Bibliografía de ampliación[editar]

  • Serge Lang, Àlgebra
  • Pierre Samuel, Teoría algebraica de los números
  • Jean-Pierre Serre, Curso de aritmética
  • Belski, A.A. y Kaluzhinm L.A.: "División Inexacta".

Enlaces externos[editar]