Entero gaussiano

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Un entero gaussiano es un número gaussiano cuyas partes, tanto la parte real cuanto la parte imaginaria son racionales enteros.

El conjunto de los enteros de Gauss, provisto de la suma y producto ordinarios de números complejos, forma un anillo conmutativo con unidad multiplicativa y luego un dominio de integridad conmutativo y unitario, usualmente se denota como ℤ[i], donde i designa la unidad imaginaria. Una estructura de esta naturaleza posee numerosas propiedades, agrupadas con el nombre de dominio de Dedekind. Además, lo que aún es más extraordinario, es un dominio euclídeo y por lo tanto factorial.

Los enteros de Gauss son utilizados en teoría de números algebraicos y en aritmética modular, por ejemplo, para el estudio de ecuaciones diofánticas. El empleo de este sistema algebraico facilitó a Carl Friedrich Gauss demostrar la ley de reciprocidad cuadrática.

Enteros gaussianos en el Plano complejo.

Formalmente, el conjunto de los enteros gaussianos se define como un subconjunto propio de los números complejos, siendo la parte real y la parte imaginaria números enteros, se denota:

siendo i2 = -1.

Propiedades algebraicas y otras[editar]

El conjunto de los enteros gaussianos provisto de la suma es un grupo abeliano, con elemento neutro: 0. El mismo conjunto Z[i] provisto del producto de números complejos es un anillo conmutativo, con elemento unitario: 1. Las unidades son 1, -1, i, -i; esto es, sus inversos mulplicativos están en Z[i]. Dicho conjunto es un dominio entero, pues no tiene divisores de cero. Pues implica z = 0 ó w = 0. [1]​Además Z[i] es un dominio euclidiano. Dados los enteros gaussianos a, b ≠ 0 existen los enteros gaussianos q y r tal que a=bq+r, siendo 0 ≤ν(r)≤ ν(b) [2]​ Todo número entero es entero gaussiano. Además un entero gaussiano imaginario es un número algebraico de segundo grado. [3]​ .

El conjunto de todos los enteros gaussianos es un dominio de integridad; pues del producto se deduce que o . [4]

En el conjunto cualquier entero gaussiano es un punto aislado con la topología usual de los números complejos, pues en la vecindad del punto ( número gaussiano) g, no existe ningún entero gaussiano.

El conjunto de todos los enteros gaussianos es un conjunto cerrado en la topología usual del plano complejo, [5]

El conjunto es un conjunto enumerable por ser el producto cartesiano de un conjunto enumerable por sí mismo.

Operaciones[editar]

  • La suma de dos enteros gaussianos es entero gaussiano. La adición en Z[i] es asociativa, existe el elementro neutro 0 talque para todo z entero gaussiano se cumple g +0 = g. Para cada g existe su opuesto -g, y g+(-g) = 0. La adición en Z[i] es conmutativa. Por lo que antecede <Z[i], +> es un grupo abeliano. Se define la diferencia g con f, tal como sigue g-f = g+ (-f)
  • La multiplicación en Z[i] es clausurativa, asociativa, conmutativa tiene elemento identidad: 1. Además distributiva: g(f+h) = gf+gh.
  • Luego < Z[i], +, x> es un anillo conmutativo con unidad, por eso es posible hablar de enteros gaussianos primos.
  • Sean h y g elementos de Z[i], se dice que h es raíz cuadrada de g si h2 = g, se denota
Ejemplo . Se comprueba elevando al cuadrado. Hay una fómula que permite hallar las dos raíces cuadradas complejas de un número complejo-
Sea z = a +bi, su raíz cuadrada es el segundo radical lleva el signo de b. ;Rez = parte real de z. [6]

Norma[editar]

La norma de un número gaussiano es el número natural definido como:

La norma es multiplicativa, i.e.

La norma guarda cierta similitud con el valor absoluto y su raíz cuadrada es la distancia euclídea del entero gaussiano a+bi al origen del plano complejo; La norma de los enteros gaussianos es adecuada para el estudio de la divisibilidad de estos.

Las unidades de Z[i] son, por lo tanto, precisamente aquellos elementos con norma 1, es decir, los elementos 1, −1, i y −i. Estos, como puntos del plano gaussiano o ℝ2, son simétricos respecto del orígen , del eje real y del eje imaginario [7]

Divisivilidad[editar]

Factores[editar]

Se dice que el entero gaussiano b es un factor del entero gaussiano a, si existe c gaussiano no nulo tal que a=bc y se denota b|a.

  • como ejemplo 4 + 3i = (2-i) (1 +2i); 2 -i divide a 4 + 3i
  • En caso de que el entero gaussiano no tenga divisores se denomina irreducible[8]

Número gaussiano primo[editar]

Un entero gaussiano π es un número gaussiano primo si su norma es mayor que 1 y que el mismo no puede descomponerse en un producto de dos gaussianos enteros, cuyas normas sean menores que la del número π. Ejemplos

  • de norma
  • de norma .

Comúnmente, serán números gaussianos primos todos aquellos cuyas normas sean números racionales primos.[9]

  • un número primo elemento de sigue siendo primo en Z[i], si solo si, . [10]​ Por ejemplo: 7 y 23; pues y .
  • El número 2 no es gaussiano primo, pues 2 = -2i·i = (1+i)(1-i)

Teorema de la factorización[editar]

todo número gaussiano entero α ≠ 0 puede descomponerse en un producto de números gaussianos primos

(los son números gaussianos primos que pueden no ser diferentes).

esta descomposición es unívoca, en la siguiente manera . si se da otra descomposición

,

ambas descomposiciones tienen el mismo número de factores , k = l, y ellas pueden diferir apenas en el orden de factores y de los factores que sean divisores de la unidad. Esta proposición es análoga a una proposición referida a la descomposición de un número racional entero no primo.

Definición[editar]

Dos números gaussianos enteros se denominan asociados si difieren entre sí en un factor igual a un divisor de la unidad, de otra forma serán números gaussianos enteros asociados si β es un número gaussiano entero arbitrario.[11]

Racionales primos[editar]

Son los enteros positivos mayores que 1, admiten exactamente dos divisores, tales como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Sin embargo, algunos de ellos no son números gaussianos primos:

  • .
  • ;
  • los racionales primos de la forma donde n es entero positivo, no son números gaussianos primos.
  • En cambio los racionales primos de la forma donde n es entero positivo, sí lo son; pues no pueden ser norma de un gaussiano entero.[12]

Proposiciones[editar]

  1. Todo número gaussiano primo es divisor de un número racional primo. Por ejemplo divide a ; también divide a .
  2. La norma de un número gaussiano primo es un número racional primo o el cuadrado de un racional primo. Si , entonces su norma es
  3. Para que un número racional entero pueda representarse como la suma de dos cuadrados es necesario y suficiente que los números primos de la forma 4n+3 figuren con exponentes pares en la descomposición de tal número en factores primos. Como ejemplo, en la descomposición de 900 figura 9, el cuadrado del número racional primo . [13]

Como dominio de ideales principales[editar]

Los enteros gaussianos forman un dominio de ideales principales con las unidades 1, −1, i, y −i. Si x es un entero gaussiano, los cuatro números x, ix, −x, y −ix se llaman «asociados de x». Como cualquier dominio de ideales principal, los enteros gaussianos forman también un dominio de factorización única. Hay campos cuadráticos que tienen infinidad de unidades o sea que su norma es 1.[14]

Los elementos primos de Z[i] son también conocidos como primos gaussianos. Un asociado de un primo gaussiano es también un primo gaussiano. Los primos gaussianos son simétricos sobre los ejes real e imaginario. Los primos gaussianos que son enteros positivos son los números primos congruentes con 3 módulo 4, (sucesión A002145 en OEIS). No se podría referir uno únicamente a esos números como «los primos gaussianos», el término se refiere a todos los primos gaussianos, muchos de los cuales no están en Z.[15]​ Para el caso 1 + i que es factor de 2[16]​.

5, como número racional entero, es un número primo, pero como entero gaussiano no es un elemento primo; pues 5 = (2+i)(2-i), estos factores sí son elementos primos en Z[i][17]

Véase también[editar]

Referencias y notas[editar]

  1. Castro Puche. Álgebra moderna ISBN 978-958-648-850-1
  2. Hefez. Álgebra I
  3. Se prueban estas proposiciones, mediante las pertinentes definiciones
  4. Birkhoff con Mc Lane. Álgebra Moderna
  5. Nieto. Variable Complejo. ediciones de la OEA
  6. Alfhors: Variable complex
  7. Lars V. Ahlfors. Complex Analysis
  8. Fraleigh: Álgebra abstracta
  9. Niven- Zuckerman. Introducción a la teoría de números
  10. Kostrikin. "Introducción al álgebra"
  11. Niven- Zuckerman. Op. cit.
  12. Hefez. Álgebra I
  13. Niven Zuckerman. Introducción a la teoría de números
  14. Jones: Teoría de números, Limusa, México D. F.
  15. [1], OEIS sequence A002145 "COMMENT" section
  16. Basta múltiplcar por 1-i, es irreducible como su conjugado
  17. Castro Puche. Op. cit.

Bibliografía[editar]

  • Serge Lang, Àlgebra
  • Pierre Samuel, Teoría algebraica de los números
  • Jean-Pierre Serre, Curso de aritmética
  • Belski, A.A. y Kaluzhinm L.A.: "División Inexacta".
  • Kostrikin «Introducción al álgebra»

Enlaces externos[editar]