Colinealidad

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Ejemplo de colinealidad en el plano: el ortocentro (H), el baricentro (Z) y el circuncentro (O) de cualquier triángulo son colineales, porque siempre descansan sobre una misma recta, denominada la recta de Euler (en color rojo).

En geometría, la colinealidad es la propiedad según la cual un conjunto de puntos están situados sobre la misma línea recta.[1]​ Se dice que un conjunto de puntos que posee esta propiedad es colineal (a veces escrito como colinear,[2]​ procedente de una traducción inadecuada del inglés). En general, el término se ha usado para objetos alineados, es decir, elementos que están "en una línea" o "en una fila".

Puntos en una línea[editar]

En cualquier geometría, un conjunto de puntos situados sobre una misma línea se dice que es colineal. En geometría euclidiana, esta relación se visualiza intuitivamente mediante puntos que se encuentran situados sobre una "línea recta". Sin embargo, en la mayoría de las geometrías (incluida la euclidiana), una recta suele ser un concepto básico, por lo que dichas visualizaciones no serán necesariamente apropiadas. Un modelo matemático de la geometría ofrece una interpretación de cómo los puntos, líneas y otros tipos de objetos se relacionan entre sí y una noción como la colinealidad debe interpretarse dentro del contexto riguroso de este modelo matemático. Por ejemplo, en geometría esférica, donde las líneas están representadas en el modelo estándar por los círculos máximos de una esfera, los conjuntos de puntos colineales se encuentran en el mismo círculo máximo. Tales puntos no se encuentran en una "línea recta" en el sentido euclidiano, y por lo tanto no se piensa que estén "en fila".

Una aplicación de una geometría sobre sí misma que convierte rectas en rectas se denomina colineación; dado que conserva la propiedad de la colinealidad. Las aplicaciones lineales (o funciones lineales) sobre un espacio vectorial, consideradas como como aplicaciones geométricas, correlacionan rectas con rectas; es decir, aplican conjuntos de puntos colineales a conjuntos de puntos colineales y, por lo tanto, son colineaciones. En geometría proyectiva estas asignaciones lineales se llaman homografías y son solo un tipo de colimación.

Ejemplos en geometría euclidiana[editar]

Triángulos[editar]

En cualquier triángulo, los siguientes conjuntos de puntos son colineales:

Cuadriláteros[editar]

  • En un cuadrilátero convexo ABCD, los puntos medios de sus diagonales AC y BD, y el punto en el que se cortan los segmentos resultantes de unir los puntos medios de los lados opuestos, son colineales, y la línea que pasa a través de ellos se llama recta de Newton (a veces conocida como recta de Newton-Gauss). Si el cuadrilátero es un cuadrilátero circunscrito, entonces su incentro también se encuentra en esta recta.[6]
  • En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro H, el baricentro G y el cuasicircuncentro O son colineales en este orden, y HG = 2 GO.[7]​ (Ver Cuadrilátero.)

Hexágonos[editar]

  • El teorema de Pascal (también conocido como Hexagrammum Mysticum Theorem) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una sección cónica (es decir, elipse, parábola o hipérbola, o incluso en cualquier par de rectas) y se unen por segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono, entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono (extendido si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada línea Pascal del hexágono. Lo contrario también es cierto: el teorema de Braikenridge–Maclaurin establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas a través de lados opuestos de un hexágono se encuentran en una línea, entonces los seis vértices del hexágono se encuentran en una cónica, que puede estar degenerada como en el teorema del hexágono de Pappus.

Secciones cónicas[editar]

  • Por el teorema de Monge, para cualquier tres circunferencias en un plano, ninguna de las cuales está completamente dentro de uno de las otras dos, los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas, cada uno de ellos tangente externamente a dos de los círculos, son colineales.
  • En una elipse, el centro, los dos focos y los dos vértices con el radio de curvatura más pequeño son colineales; y el centro y los dos vértices con el mayor radio de curvatura son colineales.
  • En una hipérbola, el centro, los dos focos y los dos vértices son colineales.

Conos[editar]

  • El centro de masas de un cono sólido de densidad uniforme se encuentra a un cuarto del camino desde el centro de la base hasta el vértice, en la línea recta que une los dos.

Tetraedros[editar]

Álgebra[editar]

Colinealidad de puntos de coordenadas dadas[editar]

En geometría analítica, en un espacio n dimensional, un conjunto de tres o más puntos distintos son colineales si y solo si, la matriz de las coordenadas de estos vectores es de rango 1 o menor. Por ejemplo, dados tres puntos X = (x1, x2, ..., xn), Y = (y1, y2, ... yn) y Z = (z1, z2, ..., zn), si la matriz

es de rango 1 o menos, los puntos son colineales.

Equivalentemente, para cada subconjunto de tres puntos X = (x1, x2, ..., xn), Y = (y1, y2, ... yn) y Z = (z1, z2, ..., zn), si la matriz

es de rango 2 o menos, los puntos son colineales. En particular, para tres puntos en el plano (n = 2), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante (matemática) es cero; ya que ese determinante 3×3 es dos veces (con signo más o menos) el área de un triángulo con esos tres puntos como vértices, esto es equivalente a la afirmación de que los tres puntos son colineales si y solo si el triángulo con esos puntos como vértices tiene área cero.

Colinealidad de los puntos con distancias dos a dos dadas[editar]

Un conjunto de al menos tres puntos distintos se llama una recta, lo que significa que todos los puntos son colineales, si y solo si, por cada tres de esos puntos A, B, y C, el siguiente determinantes de Cayley-Menger es cero (con d (AB), que significa la distancia entre A y B, etc.):

Este determinante es, por la fórmula de Herón, igual a > 16 veces el cuadrado del área de un triángulo con longitudes laterales d (AB), d (BC), y d (AC); entonces, si este determinante es igual a cero es equivalente a verificar si el triángulo con vértices A, B y C tiene área cero (por lo que los vértices son colineales).

Equivalentemente, un conjunto de al menos tres puntos distintos son colineales si y solo si, por cada tres de esos puntos A, B, y C con d (AC) mayor o igual que cada uno de d (AB) y d (BC), la desigualdad triangular d (AC ) ≤ d (AB) + d (BC) se mantiene como una igualdad.

Teoría de números[editar]

Dos números m y n no son coprimos, es decir, comparten un factor común distinto de 1, si y solo si para un rectángulo trazado en una retícula cuadrada con vértices en (0,0), (m, 0), (m, n) y (0, n), al menos un punto interior de la retícula es colineal con (0,0) y (m, n).

Concurrencia (plano dual)[editar]

En varios planos, la noción de intercambiar los roles de "puntos" y "líneas" mientras se preserva la relación entre ellos se llama dualidad proyectiva. Dado un conjunto de puntos colineales, aplicando el principio de dualidad se obtiene un conjunto de rectas que se encuentran en un punto común. La propiedad que tiene este conjunto de rectas (su reunión en un punto común) se llama concurrencia, y se dice son rectas concurrentes. Por lo tanto, la concurrencia es la noción dual plana de colinealidad.

Gráfico de colinealidad[editar]

Dada una geometría parcial P, donde dos puntos determinan como máximo una línea, un gráfico de colinealidad de P es un grafo cuyos vértices son los puntos de P, donde dos vértices son adyacentes si y solo si determinan una línea en P.

Uso en estadística y econometría[editar]

En estadística, la colinealidad se refiere a una relación lineal entre dos variables explicativas. Dos variables son "perfectamente colineales" si existe una relación lineal exacta entre las dos, por lo que la correlación entre ellas es igual a 1 o -1. Es decir, y son perfectamente colineales si existen los parámetros y de manera que, para todas las observaciones i, se tiene que

Esto significa que si las diversas observaciones (X1i, X2i) se trazan en el plano (X1, X2), estos puntos son colineales en el sentido definido anteriormente en este artículo.

La "multicolinealidad" perfecta se refiere a una situación en la que las variables explicativas k (k ≥ 2) en un modelo de análisis de la regresión están perfectamente relacionadas linealmente, de acuerdo con

para todas las observaciones i. En la práctica, rara vez aparece una multicolinealidad perfecta en un conjunto de datos. Más comúnmente, el problema de la multicolinealidad surge cuando existe una "relación lineal fuerte" entre dos o más variables independientes, lo que significa que

donde la varianza de es relativamente pequeña.

El concepto de "colinealidad lateral" se expande en esta visión tradicional, y se refiere a la colinealidad entre variables explicativas y criterios (es decir, variables explicadas).[10]

Uso en otras áreas[editar]

Conjuntos de antenas[editar]

Un mástil de una antena con una matriz de cuatro receptores colineales.

En telecomunicaciones, una matriz colineal de antenas es una torre con un conjunto de dipolos montados de tal manera que los elementos correspondientes de cada antena son paralelos y están alineados, es decir, están ubicados en una línea o eje común.

Fotografía[editar]

Las ecuaciones de colinealidad son un conjunto de dos ecuaciones usadas en fotogrametría y teledetección para relacionar sistema de coordenadas en un plano de imagen (sensor) (en dos dimensiones), con las coordenadas de un objeto (en tres dimensiones). En la configuración de una fotografía, las ecuaciones se obtienen considerando la proyección central de un punto de un objeto a través del centro óptico de la cámara a la imagen en el plano de imagen (sensor). Los tres puntos, el punto del objeto, el punto de la imagen y el centro óptico, son siempre colineales. Otra forma de decir esto es que los segmentos rectilíneos que unen los puntos del objeto con sus puntos de imagen son todos concurrentes en el centro óptico.[11]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. The concept applies in any geometry Dembowski (1968, pg. 26), pero a menudo solo se define dentro de la discusión de una geometría específica Coxeter (1969, pg. 168), Brannan, Esplen y Gray (1998, pg.106)
  2. Colinear (Merriam-Webster dictionary)
  3. a b Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  4. Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.
  5. Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.
  6. Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.
  7. Myakishev, Alexei (2006), «On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral», Forum Geometricorum 6: 289-295 .
  8. Honsberger, Ross (1995), «4.2 Cyclic quadrilaterals», Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library 37, Cambridge University Press, pp. 35-39, ISBN 978-0-88385-639-0 
  9. Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF) 
  10. Kock, N.; Lynn, G. S. (2012). «Lateral collinearity and misleading results in variance-based SEM: An illustration and recommendations». Journal of the Association for Information Systems 13 (7): 546-580. 
  11. Es más matemáticamente natural referirse a estas ecuaciones como ecuaciones de concurrencia , pero la literatura de fotogrametría no usa esa terminología.

Bibliografía[editar]