Proceso estocástico

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El índice de la bolsa es un ejemplo de proceso estocástico de tipo no estacionario (por eso no se puede predecir)

En estadística, y en concreto teoría de la probabilidad, un proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar y estudiar todo tipo de fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con el tiempo.

Contenido

[editar] Definición

Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico.

[editar] Ejemplos

  • Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:
    • 'Señales de telecomunicación
    • Señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc.)
    • Señales sísmicas
    • El número de manchas solares año tras año
    • El índice de la bolsa segundo a segundo
    • La evolución de la población de un municipio año tras año
    • El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla
    • El clima es un gigantesco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etc) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.
    • Los procesos estocásticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlación de cero con las demás observaciones.

[editar] Definición matemática

Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

  • Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.
  • Como un conjunto de variables aleatorias X_t\, indexadas por un índice t\,, dado que t \in T\,, con T\subseteq\mathbb{R}\,.

T\, puede ser continuo si es un intervalo (el número de sus valores es ilimitado) o discreto si es numerable (solamente puede asumir determinados valores).

Las variables aleatorias X_t\, toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico.

Sea (\Omega , \mathcal B , P ) un espacio probabilístico.

En una muestra de tamaño n se observa un suceso compuesto E formado por sucesos elementales ω:

E = \{\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n\} \sub \Omega\,, de manera que E \isin B\,.

El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Boole B. A cada suceso ω le corresponde un valor de una variable aleatoria V, de manera que V es función de ω:

V = V(\omega); \qquad \omega\in\Omega,\, -\infty < V < \infty

El dominio de esta función o sea el campo de variabilidad del suceso elemental, es el espacio muestral, y su recorrido, o sea el de la variable aleatoria, es el campo de los números reales. Se llama proceso aleatorio al valor en (A, \mathcal A) de un elemento X = (\Omega,\mathcal B,(X_t)_{t\ge 0},P), donde para todo t\in \mathbb{R}, X_t\, es una variable aleatoria del valor en (A,\mathcal A).

Si se observa el suceso ω en un momento t de tiempo:

V = V(\omega, t), \qquad \omega\in\Omega, t\in T, -\infty < V < \infty.

V define así un proceso estocástico.[1]

Si ({\mathcal B}_t)_t\, es una filtración,[2] se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en (A,\mathcal A), de un elemento X=(\omega,\mathcal B,\mathcal{B}_t,(X_t)_t,P), donde X_t\, es una variable aleatoria \mathcal{B}_t -medible del valor en (A,\mathcal A). La función \mathbb R \rightarrow A\ : \ t \mapsto X_t(\omega) se llama la trayectoria asociada al suceso \omega \,.

[editar] Casos especiales

  • Proceso estacionario: Un proceso es estacionario en sentido estricto si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto a un desplazamiento en el tiempo. Se dice que un proceso es estacionario en sentido amplio (o débilmente estacionario) cuando se verifica que:
  1. La media teórica es independiente del tiempo; y
  2. Las autocovarianzas de orden s sólo vienen afectadas por el lapso de tiempo transcurrido entre los dos periodos y no dependen del tiempo.

[editar] Referencias

  1. ↑ Dagum, Camilo y Estela M. Bee de Dagum(1971) Introducción a la Econometría: 79-83. México: Siglo XXI editores, sétima edición, 1980.
  2. ↑ Se llama "filtración" a una sucesión {B (t), t ∈T}de sub-σ-álgebras tal que B (t) está incluida en B (r) si r <t.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1stico"
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