Distribución de Poisson

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Distribución de Poisson
Plot of the Poisson PMF
El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.
Función de probabilidad
Plot of the Poisson CDF
El eje horizontal es el índice k.
Función de distribución de probabilidad
Parámetros \lambda \in (0,\infty)
Dominio k \in \{0,1,2,\ldots\}
Función de probabilidad (fp) \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
Función de distribución (cdf) \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ for }k\ge 0 (dónde \Gamma(x, y) es la Función gamma incompleta)
Media \lambda\,
Mediana \text{usualmente cerca de }\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
Moda \left\lceil\lambda \right\rceil-1
Varianza \lambda\,
Coeficiente de simetría \lambda^{-1/2}\,
Curtosis 3+\lambda^{-1}\,
Entropía \lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}
Función generadora de momentos (mgf) \exp(\lambda (e^t-1))\,
Función característica \exp(\lambda (e^{it}-1))\,
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En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Propiedades[editar]

La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es

f(k,\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

donde

  • k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
  • λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
  • e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a \scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor, el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos \scriptstyle\lfloor\ \rfloor representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} f(k;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} {\lambda^k e^{-\lambda} \over k!} =e^{\lambda(e^t-1)}.

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

D_{\mathrm{KL}}(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left( 1 - \frac{\lambda_0}{\lambda} + \frac{\lambda_0}{\lambda} \log \frac{\lambda_0}{\lambda} \right).

Intervalo de confianza[editar]

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de λ es propuesto por Guerriero (2012).[1] Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:

 F_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}
 F_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}

entonces los límites del parámetro \lambda están dadas por: \lambda_{low}=F_{low} T;  \lambda_{upp}=F_{upp} T.

Relación con otras distribuciones[editar]

Sumas de variables aleatorias de Poisson[editar]

La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

X_i \sim \mathrm{Poi}(\lambda_i)\,, i=1,\dots, N

son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces

Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poi}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,.

Distribución binomial[editar]

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y \theta de una distribución binomial tienden a infinito (en el caso de 'n') y a cero (en el caso de \theta) de manera que \!\lambda=n\theta se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.

Aproximación normal[editar]

Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de \lambda, una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente

Y = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}

converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.

Distribución exponencial[editar]

Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos transcurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.

Ejemplos[editar]

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es

\!P(5;8)= \frac{8^5e^{-8}}{5!}=0,092.

Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y \theta=0,02.

Procesos de Poisson[editar]

La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:

  • El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
  • El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
  • El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
  • El número de servidores web accedidos por minuto.
  • El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
  • El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
  • El número de núcleos atómicos inestables que se han desintegrado en un determinado período.
  • El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
  • La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
  • La inventiva de un inventor a lo largo de su carrera.
  • La distribucion de la riqueza humana.

Enlaces externos[editar]

Referencias[editar]

Véase también[editar]