Proceso de Poisson

En estadística y simulación un Proceso de Poisson (también conocido como "Ley de los sucesos raros") llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson (1781–1840) es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "ley de los eventos raros") que ocurren a lo largo del tiempo.

Definición.

Un proceso Poisson con intensidad (o tasa) $\lambda \ge 0$ es un proceso de contar en tiempo continuo $\lbrace N_t, t\ge0 \rbrace$, donde $N_t$ es una colección de variables aleatorias con las siguientes propiedades:

1. $N(0)=0 \,$.

2. Si $s\le t$ entonces $N_s\le N_t$.

3. Para todo $n > 0\,$ y $0 < t_1 < t_2 < ... < t_n \,$, las variables aleatorias $N_{t_1}, N_{t_2} - N_{t_1}, ... , N_{t_n} - N_{t_{n-1}}$, son independientes

4. Para toda $h > 0 \,$ y $t\in \mathbb{R} \,^+, N_h \,$ y $N_{t-h}-N_t \,$ tienen la misma distribución.

5. $P\lbrace N(h)=1\rbrace =\lambda h+o(h) \,$.

6. $P\lbrace N(h)\ge 2\rbrace =o(h)$.

Donde o(h) es una función tal que:

$\lim_{h \to 0}{o(h)\over h}=0$

Interpretación intuitiva

$N_t$ es el número de eventos que se han producido desde el instante cero hasta el instante $t$. Como en cualquier proceso estocástico, en el instante cero es una variable aleatoria; pero, después del instante $t$ es un dato.

Propiedades

A partir de la definición es posible demostrar que:

• Las variables aleatorias $N_t$ tienen distribución Poisson con parámetro $\lambda t$
• Si $T_k$ denota el tiempo transcurrido desde el (k-1)-ésimo evento hasta el k-ésimo, entonces $T_k$ es una variable aleatoria con distribución exponencial y parámetro $\lambda$
• Si $S_n$ denota el tiempo transcurrido desde el inicio del conteo hasta el n-ésimo evento, entonces $S_n$ tiene distribución Gamma con parámetros $(n,\lambda )$

Aplicación en seguros

Una importante aplicación del proceso Poisson se encuentra en la probabilidad de ruina de una compañía aseguradora. El problema fue tratado formalmente por Filip Lundberg en su tesis doctoral en 1903. Posteriormente Crámer desarrolla las ideas de Lundberg y da lugar a lo que hoy se conoce como el Proceso de Ruina o Modelo de Crámer-Lundberg.

Procesos de Poisson no homogéneos

A menudo son más realistas los modelos basados en procesos de Poisson no homogéneos, en los que la tasa de llegadas es una función del parámetro de tiempo, λ(t). Formalmente esto significa que un Proceso de Poisson no homogéneo es un proceso de contar que satisface:

1. $N(0)=0$

2. Los incrementos en intervalos ajenos son independientes.

3. $P(N(t+h)-N(t)=1) = \lambda (t)h + o(h)$

4. $P(N(t+h)-N(t)>1) = o(h)$

Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el condicionamiento y en una adaptación del método de rechazo.

Para procesos homogéneos hay una densidad media $\lambda$. Eso significa que la media de los sucesos en un intervalo de tiempo $t$ es $\lambda/t$.

El tiempo entre dos sucesos de un proceso de Poisson con intensidad media $\lambda$ es una variable aleatoria de distribución exponencial con parámetro $\lambda$.

Aplicaciones

Se pueden modelar muchos fenómenos como un proceso de Poisson. El número de sucesos en un intervalo de tiempo dado es una variable aleatoria de distribución de Poisson donde $\lambda$ es la media de números de sucesos en este intervalo. El tiempo hasta que ocurre el suceso número $k$ en un Proceso de Poisson de intensidad $\lambda$ es una variable aleatoria con distribución gamma o (lo mismo) con distribución de Erlang con $\theta=1/\lambda$.

Otras aplicaciones:

• La cantidad de clientes que entran a una tienda.
• El número de coches que pasan por una autopista.
• La llegada de personas a una fila de espera.
• El número de llamadas que llegan a una central telefónica.
• Partículas emitidas por un material radiactivo.