Proceso de Poisson

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En estadística y simulación, un proceso de Poisson (también conocido como ley de los sucesos raros), llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson (17811840) es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "ley de los eventos raros") que ocurren a lo largo del tiempo.

Definición matemática[editar]

Un proceso Poisson con intensidad (o tasa) \lambda \ge 0 es un proceso de contar en tiempo continuo \lbrace N_t, t\ge0 \rbrace, donde N_t es una colección de variables aleatorias con las siguientes propiedades:

1. N(0)=0 \,.

2. Si s\le t, entonces N_s\le N_t.

3. Para todo n > 0\, y 0 < t_1 < t_2 < ... < t_n \,, las variables aleatorias N_{t_1}, N_{t_2} - N_{t_1}, ... , N_{t_n} - N_{t_{n-1}} son independientes.

4. Para toda h > 0 \, y t\in \mathbb{R} \,^+, N_h \, y N_{t-h}-N_t \, tienen la misma distribución.

5. P\lbrace N(h)=1\rbrace =\lambda h+o(h) \,.

6. P\lbrace N(h)\ge 2\rbrace =o(h).

Donde o(h) es una función tal que:

\lim_{h \to 0}{o(h)\over h}=0

Interpretación intuitiva[editar]

N_t es el número de eventos que se han producido desde el instante cero hasta el instante t. Como en cualquier proceso estocástico, en el instante cero es una variable aleatoria; sin embargo, después del instante t es un dato.

Propiedades[editar]

A partir de la definición, es posible demostrar que:

  • Las variables aleatorias N_t tienen distribución Poisson con parámetro \lambda t.
  • Si T_k denota el tiempo transcurrido desde el (k-1)-ésimo evento hasta el k-ésimo, entonces T_k es una variable aleatoria con distribución exponencial y parámetro \lambda.
  • Si S_n denota el tiempo transcurrido desde el inicio del conteo hasta el n-ésimo evento, entonces S_n tiene distribución Gamma con parámetros (n,\lambda ).

Aplicación en seguros[editar]

Una importante aplicación del proceso Poisson se encuentra en la probabilidad de ruina de una compañía aseguradora. El problema fue tratado formalmente por Filip Lundberg en su tesis doctoral en 1903. Posteriormente, Harald Cramér desarrolla las ideas de Lundberg y da lugar a lo que hoy se conoce como el proceso de ruina o modelo de Crámer-Lundberg.

Procesos de Poisson no homogéneos[editar]

A menudo son más realistas los modelos basados en procesos de Poisson no homogéneos, en los que la tasa de llegadas es una función del parámetro de tiempo, λ(t). Formalmente esto significa que un proceso de Poisson no homogéneo es un proceso de contar que satisface:

1.  N(0)=0 2. Los incrementos en intervalos ajenos son independientes. 3. P(N(t+h)-N(t)=1) = \lambda (t)h + o(h) 4. P(N(t+h)-N(t)>1) = o(h)

Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el condicionamiento y en una adaptación del método de rechazo.

Para procesos homogéneos hay una densidad media \lambda. Eso significa que la media de los sucesos en un intervalo de tiempo t es \lambda/t.

El tiempo entre dos sucesos de un proceso de Poisson con intensidad media \lambda es una variable aleatoria de distribución exponencial con parámetro \lambda.

Aplicaciones[editar]

Se pueden modelar muchos fenómenos como un proceso de Poisson. El número de sucesos en un intervalo de tiempo dado es una variable aleatoria de distribución de Poisson donde \lambda es la media de números de sucesos en este intervalo. El tiempo hasta que ocurre el suceso número k en un proceso de Poisson de intensidad \lambda es una variable aleatoria con distribución gamma o (lo mismo) con distribución de Erlang con \theta=1/\lambda.

El ejemplo clásico de fenómenos muy bien descritos matemáticamente a través de un proceso Poisson es el de los fallecimientos a causa de la patada de un caballo en el ejército de Prusia, según lo demostrado por Ladislaus Bortkiewicz en 1898. Este economista y estadístico polaco también analizó los datos de los suicidios infantiles conforme a este modelo.[1] [2] En los siguientes ejemplos se ha aplicado el proceso de Poisson:

  • número de accidentes de tránsito (o heridos/fallecidos) en una zona específica;
  • goles anotados en un partido de futbol;[3]
  • solicitudes individuales de documentos en un servidor de Internet;[4]
  • emisión de partículas debido a decaimiento radiactivo de una sustancia inestable; en este caso, el proceso de Poisson es no homogéneo de una manera predecible; la tasa de emisión declina conforme las partículas se emiten;[5]
  • potenciales de acción emitidos por una neurona;[6]
  • L. F. Richardson demostró que el estallido de la guerra se presentó como un proceso de Poisson entre [[1820] y 1850;[7]
  • el conteo de fotones que llegan a un fotodiodo, en particular en ambientes con baja luminosidad; este fenómeno está relacionado con el llamado ruido de disparo;
  • las oportunidades para que las empresas ajusten los precios de nómina;[8]
  • la llegada de innovaciones en investigación y desarrollo;[9]
  • la solicitud de llamadas telefónicas en conmutadores;[10]
  • en la teoría de colas (véase Agner Krarup Erlang), el número de llamadas entrantes en una central telefónica puede calcularse como un proceso de Poisson;
  • la cantidad de clientes que entran a una tienda;
  • el número de coches que pasan por una autopista;
  • la llegada de personas a una fila de espera;
  • la evolución (los cambios en las páginas) de Internet, en general (no las de Wikipedia, en particular);[11]

Referencias[editar]

  1. Ladislaus von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen [The law of small numbers] (Leipzig, Germany: B.G. Teubner, 1898). En la página 1, Bortkiewicz presenta la distribución de Poisson. En las páginas 23-25, Bortkiewicz presenta su famoso análisis de "4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten." (4. Ejemplo: Personas muertas en el ejército de Prusia por la patada de un caballo).
  2. Gibbons, Robert D.; Bhaumik, Dulal; Aryal, Subhash (2009). John Wiley and Sons, ed. Statistical Methods for Groundwater Monitoring. p. 72. ISBN 0-470-16496-4. 
  3. Heuer, A.; Müller, C.; Rubner, O. (2010). "Soccer: Is scoring goals a predictable Poissonian process?". EPL (Europhysics Letters), 89(3): 38007. doi:10.1209/0295-5075/89/38007. "To a very good approximation scoring goals during a match can be characterized as independent Poissonian processes with pre-determined expectation values."
  4. Arlitt, M. F.; Williamson, C. L. (1997). "Internet Web servers: Workload characterization and performance implications". IEEE/ACM Transactions on Networking, 5(5): 631.
  5. Cannizzaro, F.; Greco, G.; Rizzo, S.; Sinagra, E. (1978). "Results of the measurements carried out in order to verify the validity of the poisson-exponential distribution in radioactive decay events". The International Journal of Applied Radiation and Isotopes, 29(11): 649.
  6. Brunel, N. (2000). "Phase diagrams of sparsely connected networks of excitatory and inhibitory spiking neurons". Neurocomputing, 32-33: 307–312. doi:10.1016/S0925-2312(00)00179-X
  7. Hayes, B. (2002). "Statistics of Deadly Quarrels". American Scientist, 90:10–14. doi:10.1511/2002.1.10
  8. Calvo, G. A. (1983). "Staggered prices in a utility-maximizing framework". Journal of Monetary Economics, 12(3): 383–398. doi:10.1016/0304-3932(83)90060-0
  9. Aghion, Philippe; Howitt, Peter (1992). "A Model of Growth Through Creative Destruction". Econometrica, 60(2): 323–351. JSTOR 2951599
  10. Willkomm, D.; Machiraju, S.; Bolot, J.; Wolisz, A. (2009). "Primary user behavior in cellular networks and implications for dynamic spectrum access". IEEE Communications Magazine, 47(3): 88.
  11. Almeida, R. B.; Mozafari, B., y Cho, J. (2007). On the evolution of Wikipedia. ICWSM (Boulder, Colorado) (Consultado 30 de mayo 2014)