Martingala

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En teoría de probabilidad, un proceso estocástico de tipo martingala (galicismo de martingale) es todo proceso caracterizado por no tener deriva.

Historia[editar]

Este tipo de procesos estocásticos reciben su nombre de la estrategia de la martingala, un método de apuestas que tuvo cierta fama en el siglo XVIII. La estrategia de la martingala consiste en, en el momento de incurrir en una pérdida en un juego de azar, volver a apostar por el total perdido. En la nueva apuesta, el jugador tiene la posibilidad de recobrar todas sus pérdidas, por lo que podría parecer que a largo plazo la esperanza de ganancia con esta estrategia se mantienen constantes y a favor del jugador. De hecho, estadísticamente es así: el capital medio del jugador (esto es, el dinero que el jugador tiene a su disposición para jugar) se mantiene constante. El problema reside en que, al incurrir en sucesivas pérdidas, el jugador que siga la estrategia de la martingala se ve obligado a apostar de nuevo cantidades cada vez mayores (las pérdidas acumuladas), que tienden a crecer exponencialmente. Al cabo de unos pocos ciclos de apuestas, el jugador, cuyos recursos son habitualmente muy inferiores a los de la banca, se ve arruinado al ser incapaz de apostar de nuevo por el total de sus pérdidas. Evitar jugadores que intenten seguir la estratega de la martingala es de todos modos una de las razones por las que los casinos actuales establecen límites máximos de apuesta.

La estrategia de la martingala se popularizó en el siglo XVIII con fama de ser una estrategia ingenua y propia de mentes simples, puesto que aunque en apariencia es infalible, sin embargo, está abocada a arruinar al jugador. Recibe el nombre de los habitantes de la localidad francesa de Martigues (martingales en francés), situada en las cercanías de Marsella, que por aquél entonces tenían fama de ser ingenuos y simplones.

El concepto de la martingala en la teoría de probabilidades fue introducido por Paul Pierre Lévy, y una gran parte del desarrollo original de la teoría lo realizó Joseph Leo Dobb. Parte de la motivación para ese esfuerzo era demostrar la inexistencia de estrategias de juego infalibles.

El concepto fue inmediatamente aplicado al análisis de procesos búrsatiles. Uno de los resultados más importantes de la matemática financiera es, precisamente, que un mercado perfecto sin posibilidades de arbitraje es una martingala.

Definición[editar]

Sea un espacio de probabilidad definido por (\Omega,\mathcal{F},P), donde \Omega es el espacio de muestra (esto es, el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio); \mathcal{F} es la \sigma-algebra asociada a \Omega, y P es la medida de probabilidad.

Sea \mathbb{F} una filtración de \sigma-algebras: \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_T \subseteq \mathcal{F} . Sea  \{ X(t)\} = X_1, X_2,\ldots , X_n una sucesión de variables aleatorias que forman un proceso estocástico.

Entonces, el proceso estocástico \{X(t), t \geq 0 \} adaptado a la filtración \mathbb{F} recibe el nombre de martingala si

\mathbb{E} \left( X(t) | \mathcal{F}_s \right) = X(s)

done \mathbb{E} es la esperanza matemática, y donde \mathcal{F}_s es cualquier sub-\sigma-algebra de la filtración \mathbb{F}.

Esto es, un proceso estocástico es una martingala si su esperanza en tiempo 't', con  t > s sujeta a la condición de que la información conocida sobre el proceso en un instante anterior 's' sea la dada por \mathcal{F}_s , sea precisamente el valor que la variable aleatoria que define el proceso tomó en dicho instante 's'. Dicho de otro modo, un proceso estocástico es una martingala cuando su esperanza en tiempo futuro es precisamente el valor que la variable tiene en tiempo presente. Esto significa que el proceso no tiene deriva estadística.

Cuando el mismo proceso estocástico cumple que

\mathbb{E} \left( X(t) | \mathcal{F}_s \right) \geq X(s)

entonces se dice que el proceso es una submartingala.

Cuando el mismo proceso estocástico cumple que

\mathbb{E} \left( X(t) | \mathcal{F}_s \right) \leq X(s)

entonces se dice que el proceso es una supermartingala.

Ejemplos[editar]

  • El ejemplo más emblemático de procesos estocásticos de tipo martingala es el movimiento browniano. Sea W(t) un proceso estocástico en movimiento browniano en el espacio de probabilidad  (\Omega,\mathcal{F},P) . El proceso es una martingala:
\mathbb{E}\left[W(t) | \mathcal{F}_s \right]  =   \mathbb{E}\left[(W(t)-W(s)) + W(s) | \mathcal{F}_s \right]

La esperanza estadística cumple la propiedad de linearidad, por lo que

 \mathbb{E}\left[W(t) | \mathcal{F}_s \right] =  \mathbb{E}\left[(W(t)-W(s))| \mathcal{F}_s \right] + \mathbb{E}\left[W(s)| \mathcal{F}_s \right]

La esperanza estadística de  \mathbb{E}\left[W(s)| \mathcal{F}_s \right]  = W(s) puesto que en el tiempo 's' definido por \mathcal{F}_s todos los valores de la variable son conocidos. Así,

  \mathbb{E}\left[W(t) | \mathcal{F}_s \right]  =  \mathbb{E}\left[W(t)-W(s)\right] + W(s)

Finalmente, un proceso estocástico se dice Browniano si la esperanza de cualquier incremento futuro es independiente de los valores presentes. Por tanto, si el incremento W(t)-W(s) es independiente de  \mathcal{F}_s,

 \mathbb{E}\left[W(t) | \mathcal{F}_s \right]  =  W(s)

Esto es, el movimiento browniano es una martingala.

  • En una comunidad ecológica (esto es, un grupo de especies que comparten un nivel trófico determinado, compitiendo por recursos parecidos en un área local), el número de individuos de una especie cualquiera es una función discrete en el tiempo, y puede entenderse como una sucesión de variables aleatorias. La sequencia es una martingala de acuerdo con la Teoría neutral unificada de la biodiversidad y la biogeografía.
  • En la estrategia de la martingala, el capital de un jugador es una martingala.

Referencias[editar]