σ-álgebra

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En matemática, una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.

Definición[editar]

(σ-álgebra) Una familia de subconjuntos de X, representada por Σ, es una σ-álgebra sobre X cuando se cumplen las siguientes propiedades:

  1. El conjunto vacío está en Σ:  \varnothing \in \Sigma.
  2. Si E está en Σ, también está su complemento \overline{E} = X\setminus E.
  3. Si E1, E2, E3, ... es una sucesión de elementos de Σ, entonces la unión (contable) de todos ellos también está en Σ.

Una σ-álgebra debe contener también al conjunto total X, ya que la segunda propiedad aplicada a E=\varnothing tiene como consecuencia que X\setminus E = X\setminus \varnothing = X pertenece a la σ-álgebra.

La aplicación de las leyes de De Morgan

\overline{\bigcap_{i \in I} A_{i}}=\bigcup_{i \in I} \overline{A_{i}},\qquad \overline{\bigcup_{i \in I} A_{i}}=\bigcap_{i \in I} \overline{A_{i}}

establecen que las intersecciones contables de sucesiones de conjuntos en la σ-álgebra también pertenecen a la σ-álgebra.

Los elementos de una σ-álgebra Σ se denominan conjuntos Σ-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre Σ). Un par ordenado (X, Σ), donde X es un conjunto y Σ una σ-álgebra sobre éste, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, Σ) y (Y, Ω) son dos espacios medibles, una función f:XY es medible si para todo E \in \Omega, f−1(E) \in \Sigma.

Una medida es una cierta clase de función medible de una σ-álgebra en el intervalo [0,∞].

Ejemplos:

  • Si P(X) es el conjunto potencia del conjunto X entonces P(X) es una σ-álgebra sobre X (la mayor σ-álgebra posible sobre X).
  • Para cualquier conjunto X, el conjunto \{\varnothing, X\} es una σ-álgebra sobre X (la menor σ-álgebra posible sobre X).
  • Si A es una colección de subconjuntos de X, la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a A es también una σ-álgebra, denotada por \langle A \rangle o por \sigma(A) y denominada σ-álgebra generada por A. Esta es por construcción la menor σ-álgebra posible que contiene a la colección A.
  • La familia de subconjuntos de X que son contables o de conjunto complementario contable (esta familia es distinta del conjunto potencia de X si y sólo si X es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los conjuntos unitarios de X.
  • Cuando X=\mathbb{R}, la σ-álgebra generada por la colección de todos los intervalos abiertos finitos se denomina álgebra de Borel (sobre \mathbb{R}).
  • El ejemplo anterior se puede generalizar a espacios topológicos arbitrarios: la σ-álgebra generada por todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico X es el álgebra de Borel asociada al espacio X.
  • En el espacio euclidiano \mathbb{R}^n, cabe destacar otra σ-álgebra: la formada por los conjuntos Lebesgue-medibles. Ésta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en \mathbb{R}^n, y es la que se prefiere en teoría de integración.

Véase también[editar]

  1. Álgebra de conjuntos
  2. Anillo de conjuntos

Bibliografía[editar]

  • Robert G. Bartle (1995) [1966]. The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226. 
  • Medida e integración , Mauro Chumpitaz (1989) UNI- Lima.
  • Teoría de la medida, Mauro Chumpitaz (1991) UNI- Lima.