Semimartingala

Una semimartingala es un tipo de proceso estocástico que aparece frecuentemente en integración estocástica, más específicamente un proceso estocástico $X$ es una semimartingala si puede descomponerse como suma de una martingala local y un proceso adaptado y de variación finita.

La clase de todas las martingalas definidas sobre un espacio de probabilidad, en el que se ha definido una filtración de σ-álgebras. Además las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la mayor clase posible de procesos estocásticos respecto a las cuales se puede definir la integral de Itō y la integral de Stratonovich.

Definición

Definición previa

Un proceso $X$ es una semimartingala total si $X$ es un proceso de tipo càdlàg, adaptado y tal que $I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}$ es continuo.

Recúerdese que para un proceso estocástico $X$ y un tiempo de parada $t$, la notación $X^{t}$ denota al proceso $(X_{t\land T})_{t\geq 0}$ (donde $s\land t:=\min(s,t)$, con esa notación se define el concepto general de semimartingala:

Definición

Un proceso $X$ se denomina semimartingala si, para cada $t\in [0,\infty )$ el proceso $X^{t}$ es una semimartingala total.

Una definición alternativa es la siguiente:

Un proceso estocástico definido sobre la filtración $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\operatorname {P} )$ se denomina semimartingala si puede descomponerse en la forma:
$X_{t}=M_{t}+A_{t}$ donde $M$ es una maritingala local y $A$ es un proceso adaptado de tipo càdlàg que localmente es de variación acotada.

Un proceso estocástico con valores en $\mathbb {R} ^{n}$ es una semimartingala si cada una de sus componentes $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ es una semimartignala.

Ejemplos

• El proceso de Wiener (o movimiento browniano) es una semimartingala.
• Un proceso estocástico adaptado con caminos de tipo càdlag de variación finita sobre compactos es una semimartingala.
• Toda martingala de cuadrado integrable con caminos de tipo càdlàg es una semimartingala.
• Toda martingala local de tipo càdlàg y localmente de cuadradro integrable es una semimartingala.
• Una martingala local con caminos continuos es una semimartingala.
• Un proceso estocástico adaptado de tipo càdlàg X_t y descomponible como suma $X_{t}=X_{0}+M_{t}+A_{t}$, donde A₀ = M₀ = 0, donde M es localmente de cuadrado integrable, A es de tipo càdlàg, adaptado y con caminos de variación finita sobre compactos, es una semimartingala.

Semimartingalas e integración

Sea X un proceso estocástico para el cual se define un operador integral I_X asociado a X. Para que dicho operador pueda ser entendido como una "integral" debería cumplir algunos requisitos razonables: debe ser lineal y debería satisfacer cierta versión del teorema de la convergencia acotada. Una forma débil de esta convergencia acotada es que la convergencia uniforme de procesos de una sucesión de procesos H_n a H implique solamente la convergencia en probabilidad de I_X(H_n) a I_X(H).

A partir de las consideraciones anteriores, dado un proceso X se define una aplicación lineal $I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}(\Omega )$ definida por:

$I_{X}(H)=H_{0}X_{0}+\sum _{i=1}^{n}H_{i}(X_{T_{i+1}}-X_{T_{i}})$

donde $\mathbf {S}$ denota el espacio de todos los procesos estocásticos simples y predictibles sobre el espacio de probabilidad considerado (con la topología adecuadada sobre $\mathbf {S}$). En la ecuación anterior el integrando $H\in \mathbf {S}$ es un proceso estocástico que admitiría la representación:

$H_{t}=H_{0}1_{\{0\}}+\sum _{i=1}^{n}H_{i}\ 1_{(T_{i},T_{i+1}]}$

donde:

$1_{A}(\cdot )$ es la función característica del conjunto $A$ que vale 1 si el argumento de la función pertenece a A y 0 en caso contrario.

Propiedades

Esta sección recoge algunos teoremas que aclaran el concepto de semimartingala definida sobre un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$.

Estabilidad

Si Q es una medida de probabilidad y es absolutamente continua respecto a P, entonces toda P-semimartingala X es una Q-semimartingala.

Esta última propiedad se sigue del hecho de que la convergencia en probabilidad respecto a P implica la convergencia respecto a Q, por ser absolutamente continua esta probabilidad respecto de la otra. Otro resultado interesante es el siguiente:

Sea $(P_{k})_{k\geq 1}$ una sucesión de medidas de probabilidad tales que X es una $(P_{k})-$semimartingala para cada k. Sea $R=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}P_{k}$, donde $\lambda _{k}\geq 0$, y además $\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}=1$. Entonces X es una semimartingala con respecto a R también.

Referencias

Bibliografía

• Protter, Philip (1995). «II. Semimartingales and Stochastic Integrals». Stochastic Integration and Differential Equations: A New Approach (en inglés). Springer. pp. p. 43-86. 

• Datos: Q506346