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En [[geometría]], se denomina '''polígono regular''' a un [[polígono]] cuyos [[segmento|lados]] y [[ángulo interior|ángulos interiores]] son [[Congruencia (geometría)|iguales]] entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman [[triángulo equilátero]] y [[cuadrado]], respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término ''regular'' (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser [[regla y compás|construidos con regla y compás]].<ref>{{MathWorld |id=RegularPolygon |title=Polígono regular}}</ref> |
En [[geometría]], se denomina '''polígono regular''' a un [[polígono]] cuyos [[segmento|lados]] y [[ángulo interior|ángulos interiores]] son [[Congruencia (geometría)|iguales]] entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman [[triángulo equilátero]] y [[cuadrado]], respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término ''regular'' (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser [[regla y compás|construidos con regla y compás]].<ref>{{MathWorld |id=RegularPolygon |title=Polígono regular}}</ref>son tambien figuras con cada lado igual |
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== Elementos de un polígono regular == |
== Elementos de un polígono regular == |
Revisión del 20:25 29 dic 2017
En geometría, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.[1]son tambien figuras con cada lado igual
Elementos de un polígono regular
- Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
- Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
- Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
- Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
- Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
- Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
- Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
- Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
- Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.
Propiedades de un polígono regular
- Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
- Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
- Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.
Ángulos de un polígono regular
Central
- Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:
- en radianes
Interior
- El ángulo interior, , de un polígono regular mide:
- en grados sexagesimales
- en radianes
- La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:
- en grados sexagesimales
- en radianes
Exterior
- El ángulo exterior, , de un polígono regular es de:
- en grados sexagesimales
- en radianes
- La suma de los ángulos exteriores, , de un polígono regular es:
- en grados sexagesimales
- en radianes
Galería de polígonos regulares
-
Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)
-
Cuadrado (cuadrilátero regular) (4)
-
Pentágono regular (5)
-
Hexágono regular (6)
-
Heptágono regular (7)
-
Octágono regular (8)
-
Eneágono regular (9)
-
Decágono regular (10)
-
Undecágono regular (11)
-
Dodecágono regular (12)
-
Tridecágono regular (13)
-
Tetradecágono regular (14)
Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.
Área de un polígono regular
Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.
En función del perímetro y la apotema
El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:
Demostración |
|
En función del número de lados y la apotema
Sabiendo que:
Además , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).
Observando la imagen, es posible deducir que:
Sustituyendo el lado:
Finalmente:
Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.
En función del número de lados y el radio
Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:
donde el ángulo central es:
sabiendo que el área de un polígono es:
y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:
ordenando tenemos:
sabiendo que:
resulta:
o lo que es lo mismo:
Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.
En función de la longitud y el número de lados
Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:
Sea el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":
El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:
Despejando la apotema tenemos:
Sustituimos la apotema por su valor:
Se puede ver en el dibujo que y la fórmula puede escribirse también como .
Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.
Diagonales de un polígono regular
Número de diagonales
Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:
- De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
- Esto es válido para los n vértices del polígono.
- Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.
Según el razonamiento tendremos que:
Longitud de la diagonal más pequeña
La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.
Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:
que resulta:
de donde deducimos que:
Sabiendo el valor del ángulo central:
La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.
Longitud de las diagonales
En General la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia
Véase también
- Figuras geométricas
- Polígono
- Polígono equilátero
- Estrella (figura geométrica)
- Regla y compás
- Trigonometría
Referencias
- ↑ Weisstein, Eric W. «Polígono regular». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Bibliografía
- Echegaray, José (2001). Geometría: ángulos, polígonos y circunferencias (1 edición). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1.
- Equipo: Rosalía de Castro (2000). Geometría, polígonos, circunferencia y círculo (1 edición). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7.
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requiere|autor=
(ayuda) - Geometría, polígonos, circunferencia y círculo, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4.