Lemniscata

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Lemniscata.

En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2) \,

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a \infty. La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemática. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Su representación en Unicode es y su código es (∞).

La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante. En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa «cinta colgante».[1]

La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola (punto medio del segmento que une los dos focos)[cita requerida].

Propiedades[editar]

Tiene sólo dos focos, siendo 2a la distancia entre ellos.[2]

Coordenadas polares[editar]

La lemniscata puede ser descrita mediante coordenadas polares según la siguiente ecuación:

r^2 = 2a^2 \cos 2\theta\,

Coordenadas bipolares[editar]

Llámanse coordenadas bipolares del punto P de un plano, con respecto a los polos O y O', al par ordenado (r, r') que son sus sendas distancias del punto a los polos. [3] .

De esta manera, en coordenadas bipolares, la ecuación de la lemniscata es:

rr' = \frac{a^2}{2},

donde a es una constante real estrictamente positiva.

Curvatura y área[editar]

El radio de curvatura R es

R = \frac{a^2}{3r}

Su área es[4]

A = a^2.

Derivadas[editar]

Cada derivada fue calculada usando diferenciación implícita.

Con y como función de x[editar]

\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x = 0 \\
\frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)}  & \mbox{if } y \ne 0   
\end{cases}
\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x \ne 0 \\
0 & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x = 0 \\
\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{si } y \ne 0  
\end{cases}

Con x como función de y[editar]

\frac{dx}{dy} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
\pm1 & \mbox{si } x = 0 \mbox{ y } y = 0 \\
\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{más }  
\end{cases}
\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
0 & \mbox{si } x = 0 \mbox{ y } y = 0 \\
\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{más }  
\end{cases}

Parámetro arco y funciones elípticas[editar]

La determinación del parámetro arco de la lemniscata llevó a las integrales elípticas, que fueron descubiertas durante el siglo XVIII. Alrededor de 1800, las funciones elípticas que intervienen en estas integrales fueron estudiadas por Carl Friedrich Gauss. No serían publicadas hasta mucho tiempo después, pero se hacían alusiones a ellas en las notas de su obra Disquisitiones Arithmeticae. La base del retículo definido por los pares fundamentales de períodos (pares ordenados de números complejos) tiene una forma muy especial, siendo proporcional a los enteros de Gauss. Por esta razón el conjunto de funciones elípticas con el producto complejo por la unidad imaginaria se denomina conjunto lemniscático.

Generalización[editar]

En geometría analítica, considérese n puntos del plano F1, F2, ...,Fn y k un número real estrictamente positivo. El conjunto de los puntos del plano cuyo producto de las distancias a cada uno de los puntos F1, F2,...,Fn es constante e igual a k es una curva (lugar geométrico) llamada lemniscata de n focos[5] .

La lemniscata de Bernoulli o lemniscata habitual tiene sólo dos focos [6] .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Hofmann: Historia de la matemática, Limusa. Noriega editores, México (2003) pág. 233
  2. " Geometría Analítica" (1968) Rey Pastor, Julio; Santaló, Luis; Balanzat, Manuel. Sin ISBN. pág. 195
  3. "Diccionario de matemáticas" (2001) Espinosa de los Monteros, Julián, Coordinador general. ISBN 84-8055-355-3, pg.65
  4. Maynard Kong. Cálculo integral
  5. "Diccionario de matemáticas" (2001) Espinosa de los Monteros, Julián, Coordinador general. ISBN 84-8055-355-3, pg.168
  6. " Geometría Analítica" (1968)Pastor Rey, Julio; Santaló, Luis; Balanzat, Manuel. Sin ISBN. pág. 195

Enlaces externos[editar]