Integral elíptica

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Una integral elíptica es una integral de la forma:

\int {A(x)+B(x)\sqrt{S(x)}\over C(x)+D(x)\sqrt{S(x)}} \, dx

o de forma alternativa como:

\int {A(x)\,dx\over B(x)\sqrt{S(x)}}

donde A, B, C y D son polinomios en x y S es un polinomio de grado 3 ó 4.

La denominación integral elíptica parte de los primeros problemas donde tuvieron lugar estas integrales, relacionados con el cálculo de la longitud de segmentos de elipse.

Las integrales elípticas pueden verse como generalizaciones de la funciones trigonométricas inversas. Las integrales elípticas proporcionan soluciones a una clase de problemas algo más amplia que las funciones trigonométricas inversas elementales, por ejemplo el cálculo de la longitud de arco de una circunferencia sólo requiere de las funciones trigonométricas inversas, pero el cálculo de la longitud de arco de una elipse requiere de integrales elípticas. Otro buen ejemplo es el péndulo, cuyo movimiento para pequeñas oscilaciones puede representarse por funciones trigonométricas, pero para oscilaciones más grandes requiere el uso de funciones elípticas basadas en las integrales elípticas.

Cálculo[editar]

Todas las integrales elípticas del tipo anterior pueden ser reescritas en términos en forma de suma de funciones elementales y tres tipos "básicos" de integrales elípticas (llamados de primera especie, de segunda especie y de tercera especie. Para ver esto escribamos la integral elíptica en la forma:

\int \frac{P(w,x)}{Q(w,x)}\ dx

Donde w es una función de w, tal que w^2 es un polinomio de tercer o cuarto grado, que contiene al menos una potencia impar de w.[1]

Integral elíptica de primera especie[editar]

Una integral elíptica de primera especie es un caso particular de la integral elíptica. Existen integrales elípticas de primera especie, completas e incompletas. Las primeras dependen de una sola variable y las segundas dependen de dos variables.

Integral elíptica completa de primera especie[editar]

La integral elíptica completa de primera especie K se define como:

 K(x) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}} =
\int_{0}^{1} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-x^2 v^2)} }

y puede calcularse por medio de la media aritmética geométrica, o mediante la serie de Taylor:

K(x) = \frac{\pi}{2} 
\left[1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 x^2+
\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 x^4+ 
\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2 x^6 + \dots \right]

La serie anterior converge para |x| < 1\;.

El método de la media aritmética geométrica tiene la ventaja de que genera una serie que converge de forma extremadamente rápida. Para aplicarlo basta con inicializar el algoritmo de la media aritmética geométrica con los siguientes valores:

a_{0} = 1 \quad \mbox{y} \quad g_{0} = \sqrt{1-x^2}

K(x) se obtiene a partir del enésimo valor an mediante:

K(x)\approx \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{a_n}

Normalmente basta con computar los 5 ó 6 primeros términos de la serie para alcanzar una precisión en el resultado suficiente para cualquier uso práctico. Conseguir lo mismo, por ejemplo, con la serie de Taylor, requeriría calcular un número muy superior, sobre todo según |x| se acerca a 1.

Integral elíptica incompleta de primera especie[editar]

La integral elíptica incompleta de primera especie F se define como:

 u = F(x,\varphi) = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}} =
\int_{0}^{\sin \varphi} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-x^2 v^2)} } = F_x(\varphi)

En este caso el parámetro \varphi = am(u) se llama "amplitud" y si se toma x como un parámetro. Esta "amplitud" viene dada por la inversa de la función anterior F. Las funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta amplitud.

Transformación de Landen[editar]

La transformación de Landen permite expresar integrales elípticas incompletas de un parámetro en integrales elípticas de otro parámetro diferente. Puede probarse que si definimos una nueva amplitud φ1 y una nuevo parámetro k1, relacionadas con la antigua amplitud φ y el antiguo parámetro k mediante:

k_1 = \frac{2\sqrt{k}}{1+k} \qquad \tan \varphi = \frac{\sin 2\varphi_1}{k+\cos 2\varphi_1}

Entonces existe una relación simple entre las integrales elípticas incompletas asociadas a los parámetros (k11) y (k,φ) dada por:

F(k,\varphi) = \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}} =
\frac{1}{1+k} \int_0^{\varphi_1} \frac{d\theta_1}{\sqrt{1-k_1^2\sin^2 \theta_1}}

Este resultado puede aplicarse iterativamente para calcular las integrales elípticas incompletas en términos de funciones elementales y límites. Si definimos las sucesiones:

k_i = \frac{2\sqrt{k_{i+1}}}{1+k_i} \qquad
\tan \varphi_i = \frac{\sin 2\varphi_{i+1}}{k+\cos 2\varphi_{i+1}}

Entonces tenemos que:

F(k_0,\varphi_0) = \sqrt{\frac{k_1k_2k_3\dots}{k_0}}
\int_0^\Phi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{k_1k_2k_3\dots}{k_0}}
\ln \tan \left( \frac{\pi}{4}+ \frac{\Phi}{2} \right)

Donde:

\Phi = \lim_{k \to \infty} \varphi_k

Integral elíptica de segunda especie[editar]

Una Integral elíptica de segunda especie es un caso particular de la integral elíptica.

Integral elíptica completa de segunda especie[editar]

La integral elíptica completa de segunda especie E se define como:

 E(x) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}\ d\theta
=\int_{0}^{1} \frac{ \sqrt{1-x^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt

Esta integral elíptica de segunda especie es por tanto una función de una variable puede expresarse en serie de Taylor:

E(x) = \frac{\pi}{2} 
\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2 x^2-
\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 \frac{x^4}{3}- 
\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2 \frac{x^6}{5} - \dots 
\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{x^{2n}}{2n-1}- \dots  \right]

Integral elíptica incompleta de segunda especie[editar]

La integral elíptica incompleta de segunda especie es una función de dos variables que generaliza a la integral completa:

E(x,\varphi) = \int_{0}^{\varphi} \sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}\ d\theta
=\int_{0}^{\sin \varphi} \frac{ \sqrt{1-x^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt

Integral elíptica de tercera especie[editar]

Una integral elíptica de tercera especie es un caso particular de la integral elíptica. Sea  0 < k^2 < 1 , la integral elíptica completa de tercera especie se define como:

\Pi(n;\phi,k) = \int_0^\phi {d\theta \over (1-n\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}
 =\int_0^{\sin \phi} {dt \over (1-nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}

donde n es una constante.

Aplicaciones[editar]

Las integrales elípticas de tercera especie aparecen de modo natural en la integración de las ecuaciones de movimiento de un péndulo esférico.


Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Abramowitz y Stegun, 1972, p. 589.