Función implícita

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Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de \mathbb{R}^2 entre las variables x e y:

 y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,

Diferenciación[editar]

Dada una función  F(x,y) \,, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:  \frac{dy}{dx} = f'(x) .

Si consideramos  y = f \left ( x \right ) es una función en términos de la variable independiente x y  G \left ( y \right ) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que  y = f \left ( x \right ) , entonces para obtener la derivada:

 D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )

Ejemplo[editar]

Obtener la derivada de:

 6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \,

El término  6x^2y se puede considerar que son dos funciones,  6x^2 y  y por lo que se derivará como un producto:

 D_x \left ( 6 x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6 x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right )

El término  5 y^3 se deriva como:

 D_x \left ( 5 y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx}

El término  3 x^2 se deriva de forma normal como:

 D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

 D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,

El término  x^2y^2 se puede considerar como un producto y se deriva como:

 D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right )

Al unir todos los términos se obtiene:

 12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}

Ordenando:

 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}= -12xy - 6x- 2xy^2

Factorizando respecto a ( \frac {dy}{dx} ) los valores son:

\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right )

Finalmente despejando \frac {dy}{dx} se obtiene la derivada de la función implícita:

 \frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y }

Véase también[editar]

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