Función implícita

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Una función y = h(x) se llama implícitamente definida por una ecuación de dos variables , si al reemplazar y por por h(x) , la ecuación f(x,y) = 0 resulta una identidad en x. [1][2][3]

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

En algunos casos se puede explicitar la función y = h(x), pero en otros casos no se puede resolver ni explicitar

Ejemplo

Derivación[editar]

Para derivar una función impli y arregloscitamenta definida, sregla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar una función de la variable dependiente, se la considera como una función de función :

Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .

Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

Ejemplo[editar]

Obtener la derivada de:

El término se puede considerar que son dos funciones, y por lo que se derivará como un producto:

El término se deriva como:

El término se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

El término se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando:

Factorizando respecto a ( ) los valores son:

Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita:

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Piskumov Cálculo diferencia e integral tomo I
  2. Kaplan Cálculo avanzado
  3. Anton Cálculo con geometría analítica

Texto de consulta[editar]

  • John B. Fraleigh. Cálculo con geometría analítica. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México D.F., 1984 ISBN 968-50-0127-8
  • Bartle Introducción al análisis matemático

Enlaces externos[editar]