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Distribución binomial |
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 Función de probabilidad |
 Función de distribución de probabilidad |
Parámetros |
número de ensayos (entero)
probabilidad de éxito (real) |
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Dominio |
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Función de probabilidad (fp) |
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Función de distribución (cdf) |
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Media |
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Mediana |
Uno de [1] |
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Moda |
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Varianza |
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Coeficiente de simetría |
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Curtosis |
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Entropía |
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Función generadora de momentos (mgf) |
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Función característica |
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En estadística, la distribución binomial o distribución binómica es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de
ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija
de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles, a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia
y al otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad
.
Función de Probabilidad[editar]
En general, una variable aleatoria discreta
tiene una distribución binomial con parámetros
y
con
y escribimos
si su función de probabilidad está dada por
para
, siendo
las combinaciones de
en
.
Función de Distribución Acumulada[editar]
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria
está dada por
También puede ser expresada en términos de la función beta incompleta como
que es equivalente a la función de distribución acumulada de la distribución F.
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.
Experimento binomial[editar]
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). El valor de ambas posibilidades ha de ser constante en todos los experimentos, y se denotan como
y
respectivamente o como
y
de forma alternativa.
Se designa por
a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los
experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable
sigue una distribución de probabilidad binomial.
Supongamos que se lanza un dado 51 veces y queremos calcular la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.
En este problema un ensayo consiste en lanzar el dado una vez. Consideramos un éxito si obtenemos un 3 pero si no sale 3 lo consideramos como un fracaso. Defínase
como el número de veces que se obtiene un 3 en 51 lanzamientos.
En este caso tenemos
por lo que la probabilidad buscada es

Propiedades[editar]
Si
es una variable aleatoria discreta tal que
entonces
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=np}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a847aa9a0c1fc2751c00a6b9cb4be55e784e88a)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=np(1-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23eeb9e25ec727bf979d0432c8175efe6f2e319b)
La primera de ellas es fácil de demostrar, por definición de Esperanza
el primer término de la suma, es decir, para
el término vale cero por lo que podemos iniciar la suma en
Dado que
para
.
Reemplazando lo anterior en la expresión de
obtenemos
Haciendo el cambio de índice
obtenemos
Finalmente por la fórmula de Newton (Teorema del binomio)
Obtenemos
.
Distribuciones Relacionadas[editar]
Suma de Binomiales[editar]
Si
y
son variables aleatorias independientes con la misma probabilidad
entonces la variable aleatoria
también es una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros
y
, es decir
Distribución Bernoulli[editar]
Si
son
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que
entonces
Lo anterior es equivalente a decir que la distribución Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial cuando
, es decir, si
entonces
.
Distribuciones limitantes[editar]
Teorema límite de Poisson[editar]
Si
y
es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a
, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro
.
Si
es una variable aleatoria con media
y varianza
entonces
conforme
, esta aproximación es buena si
y
.
Propiedades reproductivas[editar]
Si
son variables aleatorias independientes tales que
con
entonces

Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.
Enlaces externos[editar]