Distribución F

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Fisher-Snedecor
F-distribution pdf.svg
Función de densidad de probabilidad
F distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media para
Moda para
Varianza para
Coeficiente de simetría
para

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución F, también conocida como distribución de Fisher-Snedecor (nombrada por Ronald Fisher y George Snedecor), es una distribución de probabilidad continua, aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Definición[editar]

Sea una variable aleatoria continua y sean . Se dice que la variable aleatoria tiene una distribución con y grados de libertad y escribimos si su función de densidad está dada por

para .

La expresión anterior también suele escribirse como

donde es la función beta.

Propiedades[editar]

Si entonces la variable aleatoria satisface algunas propiedades:

Media[editar]

La media de es

para .

Varianza[editar]

La varianza de está dada por

para .

Teorema[editar]

Sean y variables aleatorias independientes tales que y , esto es y siguen una distribución chi-cuadrado con y grados de libertad respectivamente entonces la variable aleatoria

donde denota la distribución con y grados de libertad.

Demostración[editar]

Utilizaremos el teorema del cambio de variable, definimos

La función de densidad conjunta de y está dada por

como y entonces el Jacobiano de la transformación está dado por

La función de densidad conjunta de está determinada por

y como la densidad marginal de está dada por

entonces

que corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución , por lo tanto

A partir de una muestra con distribución normal[editar]

Sean una muestra aleatoria de la distribución y una muestra aleatoria de la distribución donde ambas muestras son independientes entre sí, se tiene que

entonces

y por el teorema anterior

Distribuciones Relacionadas[editar]

  • Si entonces tiene una distribución chi cuadrada .
  • Si y son independientes entonces .
  • Si entonces .
  • Si entonces .
  • Si y son independientes entonces .

Enlaces externos[editar]