Distribución de probabilidad

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La distribución Normal suele conocerse como la "campana de Gauss".

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También se dice que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia. De hecho, se puede entender que una distribución de probabilidades sería una frecuencia teórica, ya que ésta última es aquella que describe cómo se espera que varíen los resultados.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Tipos de variables[editar]

  • Variable aleatoria: Es aquella cuyo valor es el resultado de un evento aleatorio. Lo que quiere decir que son los resultados que se presentan al azar en cualquier evento o experimento.
  • Variable aleatoria discreta: Es aquella que sólo toma ciertos valores (frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del conteo realizado.
  • Variable aleatoria continua: Es aquella que resulta generalmente de la medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.[1]

División de distribuciones[editar]

Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar, esto significa que:

a) Si la variable es una variable discreta (valores enteros), corresponderá una distribución discreta, de las cuales existen:

  • Distribución binomial (eventos independientes).
  • Distribución de poisson (eventos independientes).
  • Distribución hipergeométrica(eventos dependientes).

b) Si la variable es continua, esto significa que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, la distribución que se generará será una distribución continua, también llamada "distribución normal".

Además, se puede utilizar la "distribución de poisson como una aproximación de la distribución binomial" cuando la muestra por es estudiar es grande y la probabilidad de éxito es pequeña. De la combinación de los dos tipos de distribuciones anteriores (a y b), surge una conocida como "distribución normal como una aproximación de la distribución binomial y de poisson".

Definición de función de distribución[editar]

Dada una variable aleatoria , su función de distribución, , es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice y se escribe, simplemente, . Donde en la fórmula anterior:

, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.
es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.
es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.
es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definida sobre el espacio muestral a los números reales.

Propiedades[editar]

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

Además, cumple

Para dos números reales cualesquiera y tal que , los sucesos y son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso , por lo que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución para todos los valores de la variable aleatoria conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta[editar]

Gráfica de distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor .

Tipos de distribuciones de variable discreta[editar]

Definidas sobre un dominio finito

  • La distribución de Bernoulli, que toma valores "1", con probabilidad p, o "0", con probabilidad q = 1 − p.
  • La distribución de Rademacher, que toma valores "1" o "-1" con probabilidad 1/2 cada uno.
  • La distribución binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no" (ensayo de Bernoulli, todos ellos con probabilidad de acierto p y probabilidad de fallo q = 1 − p.
  • La distribución beta-binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no", cada uno de ellos con una probabilidad de acierto variable definida por una beta.
  • La distribución degenerada en x0, en la que X toma el valor x0 con probabilidad 1. A pesar de que no parece una variable aleatoria, la distribución satisface todos los requisitos para ser considerada como tal.
  • La distribución uniforme discreta, en el que todos los resultados posibles forman de un conjunto finito en el que todos son igualmente probables. Esta distribución describe el comportamiento aleatorio de una moneda, un dado o una ruleta de casino equilibrados (sin sesgo).
  • La distribución hipergeométrica, que mide la probabilidad de obtener x (0 ≤ x ≤ d) elementos de una determinada clase formada por d elementos pertenecientes a una población de N elementos, tomando una muestra de n elementos de la población sin reemplazo.
  • distribución hipergeométrica no central de Fisher.
  • distribución hipergeométrica no central de Wallenius.
  • La ley de Benford, que describe la frecuencia del primer dígito de un conjunto de números en notación decimal.

Definidas sobre un dominio infinito

Distribuciones de variable continua[editar]

Distribución normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Tipos de distribuciones de variable continua[editar]

Distribuciones definidas en un intervalo acotado

Definidas en un intervalo semi-infinito, usualmente [0,∞)

Distribuciones en las que el logaritmo de una variable aleatoria está distribuido conforme a una distribución estándar:

Definidas en la recta real completa

Definidas en un dominio variable

Distribuciones mixtas discreta/continua

Distribuciones multivariable

Distribuciones matriciales

Distribuciones no numéricas

Distribuciones misceláneas

Referencias[editar]

  1. Díaz Mata, Alfredo (2013). Estadística aplicada a la administración y economía. México: MC Graw Gill. 

Véase también[editar]

Anexo:Distribuciones de probabilidad

Enlaces externos[editar]