Distribución Bernoulli

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Bernoulli
Parámetros
Dominio
Función de probabilidad (fp)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana N/A
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor para la probabilidad de éxito y valor para la probabilidad de fracaso .

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo y la serie de esos experimentos como experimento Bernoulli.

Definición[editar]

Si es una variable aleatoria discreta que mide el "número de éxitos" y se realiza un único experimento con dos posibles resultados denominados éxito y fracaso, se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro con y escribimos.

Función de Probabilidad[editar]

Su función de probabilidad es

lo anterior es equivalente a escribir

en ocasiones también suele escribirse como

Función de Distribución[editar]

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria está dada por

Propiedades[editar]

Si es una variable aleatoria tal que entonces la variable aleatoria cumple algunas propiedades.

Media[editar]

Su media está dada por

Esta se demuestra fácilmente utilizando la definición de esperanza

con lo anterior es fácil obtener una expresión para pues

Varianza[editar]

Teniendo y puede deducirse que la varianza de está dada por

Otras propiedades[editar]

El -ésimo momento de la variable aleatoria es

Su función generadora de momentos está dada por

Su función generadora de probabilidad está dada por

La función característica está dada por

Moda

Asimetría (Sesgo)

Curtosis

La Curtosis tiende a infinito para valores de cercanos a 0 o a 1, pero para la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

Como caso particular de la distribución binomial[editar]

La distribución Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con , esto es .

Distribuciones Relacionadas[editar]

  • Si son variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con entonces la variable aleatoria sigue una distribución binomial con parámetros y , es decir

Ejemplos[editar]

Ejemplo 1[editar]

Se quiere lanzar una moneda y obtener la probabilidad de que salga cruz, se trata de un solo experimento con dos resultados posibles: el éxito se considerará sacar cruz y valdrá . El fracaso será que salga cara y vale .

La variable aleatoria mide el "número de cruces que salen en un lanzamiento" y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (no salga cruz, es decir, salir cara) y 1 (salga cruz), por lo tanto, la variable aleatoria se distribuirá como una Bernoulli con parámetro , es decir, , por lo que

Ejemplo 2[editar]

Se lanza un dado y se quiere hallar la probabilidad de que salga un 6.

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por lo tanto, la probabilidad según la Regla de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

Véase también[editar]