Función de distribución

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Función de Distribución Acumulativa para la distribución normal en la siguiente imagen
Función de Densidad de Probabilidad para varias distribuciones normales. El trazo rojo distingue la distribución normal estándar.

En la teoría de la probabilidad y en estadística, la función de distribución acumulada (FDA, designada también a veces simplemente como función de distribución o FD) o función de probabilidad acumulada asociada a una variable aleatoria real sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad, es una función matemática de la variable real que describe la probabilidad de que tenga un valor menor o igual que .
Intuitivamente, asumiendo la función como la ley de distribución de probabilidad, la FDA sería la función con la recta real como dominio, con imagen del área hasta aquí de la función , siendo aquí el valor x para la variable aleatoria real .
La FDA asocia a cada valor x, la probabilidad del evento: «la variable toma valores menores o iguales a x».
El concepto de FDA puede generalizarse para modelar variables aleatorias multivariantes definidas en

Definición[editar]

Sean un espacio de probabilidad y una variable aleatoria, la función de distribución acumulada de la variable aleatoria es una función definida como

La función de distribución evaluada en un número cualquiera es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a .

La función de distribución acumulada puede obtenerse a partir de la función de probabilidad .

Notación[editar]

En ocasiones, se utiliza la notación para especificar que se trata de la función de distribución de una variable aleatoria aunque por simplicidad suele escribirse .

Caso Discreto[editar]

Si es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad entonces la función de distribución acumulada se calcula como

Caso Continuo[editar]

Si es una variable aleatoria continua con función de densidad entonces la función de distribución acumulada se calcula como

Propiedades[editar]

Una función de distribución acumulada asociada a la variable aleatoria satisface

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Es monótona no decreciente, es decir, si entonces .
  5. Es continua por la derecha, es decir, .

Si puede demostrarse que

Si es una variable aleatoria continua entonces se dice que es absolutamente continua por lo que

Ejemplos[editar]

La FDA de una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo unitario queda definida por:

Si es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro , es decir, tiene como función de distribución acumulada la función

Función de Distribución Acumulada Inversa (función cuantil)[editar]

La función cuantil de una variable aleatoria (o de una ley de probabilidad) es la inversa de su acumulada.
Si la FDA es estrictamente creciente y continua, su inversa está definida es el único número real tal que .
Solo en tales casos queda así definida la función de distribución inversa o función cuantil. Pero una función de distribución se mantiene constante en todo intervalo en el cual la variable aleatoria no puede tomar valores. Es por esto que se introduce la siguiente definición. Lamentablemente, la distribución carece, en general, de inversa. Se puede definir, para , la inversa generalizada de la función distribución:

Sea una variable aleatoria con valores en y su función de distribución. Se llama función cuantil de a la función de en , denotada por , que a hace corresponder: .
La inversa de la pda se denomina función cuantil.

La inversa de la pda puede emplearse para trasladar resultados obtenidos para la distribución uniforme a otras distribuciones.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

Estadística[editar]

Puede considerarse el artículo sobre Estadística matemática para completar algunos tópicos.