Distribución geométrica

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En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

  • Si es el número necesario para obtener un éxito.
  • Si es el número de fracasos antes del primer éxito.

Si la variable aleatoria discreta se usa para modelar el número de fracasos antes de obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es , diremos que tiene una distribución Geométrica con parámetro y escribimos si su función de probabilidad es

Propiedades[editar]

Si entonces

  1. .
  2. .
  3. La función generadora de probabilidad f.g.p es .
  4. La función generadora de momentos es .
  5. La distribución geométrica no tiene memoria, es decir, . Su análoga continua, la distribución exponencial, también carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.
  6. Los cumulantes de Y para , en función de los números de Stirling de segunda especie, son , donde .
  7. De todas estas distribuciones de contenidas en con un valor esperado dado , la distribución geométrica con parámetro es la de mayor entropía.
  8. La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1,0.

Distribuciones relacionadas[editar]

La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa con parámetro . Más generalmente, si Y 1,...,Yk son variables independientes distribuidas geométricamente con parámetro p, entonces sigue a una distribución binomial negativa con parámetros k y p.

Si Y1,...,Yr son variables independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito pm posibles ), entonces su mínimo es también geométricamente distribuido, con parámetro

.

Enlaces externos[editar]