Función generadora de momentos

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En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria es

siempre que esta esperanza exista.

La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de , permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde es un vector aleatorio n-dimensional, se usa en lugar de :

En ocasiones se escribe en lugar de y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

Cálculo[editar]

Si es una variable aleatoria continua con función de densidad , entonces la función generadora de momentos viene dada por

donde es el -ésimo momento. es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de .

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

donde es la función de distribución. Si es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

donde las son constantes, entonces la función de densidad de es la convolución de la función de densidad de cada una de las y la función generadora de momentos para viene dada por

Para variables aleatorias multidimensionales con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

donde t es un vector y es el producto punto.

Función Generadora de Momentos para algunas distribuciones[editar]

  • Si entonces .
  • Si entonces .
  • Si entonces .
  • Si entonces .
  • Si entonces .

Relación con otras funciones[editar]

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica
La función característica está relacionada con la función generadora de momentos via
siempre que ambas existan.
Función generadora de probabilidad

La función generador de momentos y la función generadora de probabilidad se relacionan por la igualdad

donde

siempre que ambas existan.

Véase también[editar]