Distribución uniforme continua

Uniforme
Utilizando convención de máximo Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$a,b \in (-\infty,\infty) \,\!$
Dominio	$a \le x \le b \,\!$
Función de densidad (pdf)	$\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \mbox{para }a \le x \le b \\ \\ 0 & \mathrm{para}\ x<a\ \mathrm{o}\ x>b \end{matrix} \,\!$
Función de distribución (cdf)	$\begin{matrix} 0 & \mbox{para }x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{para }a \le x < b \\ 1 & \mbox{para }x \ge b \end{matrix} \,\!$
Media	$\frac{a+b}{2} \,\!$
Mediana	$\frac{a+b}{2} \,\!$
Moda	cualquier valor en $[a,b] \,\!$
Varianza	$\frac{(b-a)^2}{12} \,\!$
Coeficiente de simetría	$0 \,\!$
Curtosis	$-\frac{6}{5} \,\!$
Entropía	$\ln(b-a) \,\!$
Función generadora de momentos (mgf)	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!$
Función característica	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} \,\!$

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mathrm{para}\ a \le x \le b, \\ \\ 0 & \mathrm{para}\ x<a\ \mathrm{o}\ x>b, \end{matrix}\right.$

Los valores en los dos extremos a y b no son por lo general importantes porque no afectan el valor de las integrales de f(x) dx sobre el intervalo, ni de x f(x) dx o expresiones similares. A veces se elige que sean cero, y a veces se los elige con el valor 1/(b − a). Este último resulta apropiado en el contexto de estimación por el método de máxima verosimilitud. En el contexto del análisis de Fourier, se puede elegir que el valor de f(a) ó f(b) sean 1/(2(b − a)), para que entonces la transformada inversa de muchas transformadas integrales de esta función uniforme resulten en la función inicial, de otra forma la función que se obtiene sería igual "en casi todo punto", o sea excepto en un conjunto de puntos con medida nula. También, de esta forma resulta consistente con la función signo que no posee dicha ambigüedad.

Función de distribución de probabilidad

La función de distribución de probabilidad es:

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{para }x < a \\ \\ \frac{x-a}{b-a} & \ \ \ \mbox{para }a \le x < b \\ \\ 1 & \mbox{para }x \ge b \end{matrix}\right. \,\!$

Funciones generadoras asociadas

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos es

$M_x = E(e^{tx}) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!$

a partir de la cual se pueden calcular los momentos m_k

$m_1=\frac{a+b}{2}, \,\!$

$m_2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}, \,\!$

y, en general,

$m_k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k a^ib^{k-i}. \,\!$

Para una variable aleatoria que satisface esta distribución, la esperanza matemática es entonces m₁ = (a + b)/2 y la varianza es m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Propiedades

Generalización a conjuntos de Borel

Esta distribución puede ser generalizada a conjuntos de intervalos más complicados. Si S es un conjunto de Borel de medida finita positiva, la distribución probabilidad uniforme en S se puede especificar definiendo que la pdf sea nula fuera de S e igual a 1/K dentro de S, donde K es la medida de Lebesgue de S.

Estadísticas de orden

Sea X₁,..., X_n una muestra i.i.d. de U(0,1). Sea X_(k) el orden estadístico k-ésimo de esta muestra. Entonces la distribución de probabilidad de X_(k) es una distribución Beta con parámetros k y n − k + 1. La esperanza matemática es

$\operatorname{E}(X_{(k)}) = {k \over n+1}.$

Esto es útil cuando se realizan Q-Q plots.

Las varianzas son

$\operatorname{Var}(X_{(k)}) = {k (n-k+1) \over (n+1)^2 (n+2)} .$

'Uniformidad'

La probabilidad de que una variable aleatoria uniformemente distribuida se encuentre dentro de algún intervalo de longitud finita es independiente de la ubicación del intervalo (aunque sí depende del tamaño del intervalo), siempre que el intervalo esté contenido en el dominio de la distribución.

Es posible verificar esto, por ejemplo si X ≈ U(0,b) y [x, x+d] es un subintervalo de [0,b] con d fijo y d > 0, entonces

$P\left(X\in\left [ x,x+d \right ]\right) = \int_{x}^{x+d} \frac{\mathrm{d}y}{b-a}\, = \frac{d}{b-a} \,\!$

lo cual es independiente de x. Este hecho es el que le da su nombre a la distribución.

Uniforme estándar

Si se restringe $a=0$ y $b=1$, a la distribución resultante U(0,1) se la llama distribución uniforme estándar.

Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si u₁ es una distribución uniforme estándar, entonces 1-u₁ también lo es.

Distribuciones relacionadas

Si X tiene una distribución uniforme estándar, entonces:

• Y = -ln(X)/λ tiene una distribución exponencial con parámetro λ.
• Y = 1 - X^1/n tiene una distribución beta con parámetros 1 y n. (Notar que esto implica que la distribución uniforme estándar es un caso especial de la distribución beta, con parámetros 1 y 1).

Relaciones con otras funciones

Siempre y cuando se sigan las mismas convenciones en los puntos de transición, la función densidad de probabilidad puede también ser expresada mediante la función escalón de Heaviside:

$f(x)=\frac{\operatorname{H}(x-a)-\operatorname{H}(x-b)}{b-a}, \,\!$

ó en términos de la función rectángulo

$f(x)=\frac{1}{b-a}\,\operatorname{rect}\left(\frac{x-\left(\frac{a+b}{2}\right)}{b-a}\right) .$

No existe ambigüedad en el punto de transición de la función signo. Utilizando la convención de la mitad del máximo en los puntos de transición, la distribución uniforme se puede expresar a partir de la función signo como:

$f(x)=\frac{ \sgn{(x-a)}-\sgn{(x-b)}} {2(b-a)}.$

Aplicaciones

En estadística, cuando se utiliza un p-value a modo de prueba estadística para una hipótesis nula simple, y la distribución de la prueba estadística es continua, entonces la prueba estadística esta uniformemente distribuida entre 0 y 1 si la hipótesis nula es verdadera.

Muestreo de una distribución uniforme

Existen muchos usos en que es útil realizar experimentos de simulación. Muchos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudo-aleatorios que están distribuidos de acuerdo a una distribución uniforme estándar.

Si u es un valor muestreado de una distribución uniforme estándar, entonces el valor a + (b − a)u posee una distribución uniforme parametrizada por a y b, como se describió previamente.

Muestreo de una distribución arbitraria

La distribución uniforme resulta útil para muestrear distribuciones arbitrarias. Un método general es el método de muestreo de transformación inversa, que utiliza la distribución de probabilidad (CDF) de la variable aleatoria objetivo. Este método es muy útil en trabajos teóricos. Dado que las simulaciones que utilizan este método requieren invertir la CDF de la variable objetivo, se han diseñado métodos alternativos para aquellos casos donde no se conoce el CDF en una forma cerrada. Otro método similar es el rejection sampling.

La distribución normal es un ejemplo importante en el que el método de la transformada inversa no es eficiente. Sin embargo, existe un método exacto, la transformación de Box-Muller, que utiliza la transformada inversa para convertir dos variables aleatorias uniformes independientes en dos variables aleatorias independientes distribuidas normalmente.

Ejemplo en el intervalo [0,1]

Para este caso el intervalo queda definido por $a=0$ y $b=1$.

Entonces resulta:

• $f(x)=1$ para $0\leq x\leq 1$

• $F(x)=x$ para $0\leq x\leq 1$

• $\operatorname{E}(X) = 0,5$

• $\operatorname{Var}(X) = 1/12$

• $\sigma_x = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{1/12} \approx 0.29$

Enlaces externos

• Calculadora - Distribución uniforme continua
• [1] Calcular la probabilidad de una distribución uniforme con R (lenguaje de programación)