Distribución gamma

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Gamma
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Función de Densidad de una Gamma.

En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse

  1. Con parámetro de forma y parámetro de escala .
  2. Con parámetro de forma y parámetro inverso de escala .

Definición[editar]

Notación[editar]

Si una variable aleatoria continua tiene distribución gamma con parámetros y entonces escribiremos .

Función de Densidad[editar]

Si entonces su función de densidad es

para donde

es la función gamma y satisface

  1. Para cualquier se cumple que
  2. Si entonces
  3. Si entonces

Función de Densidad Acumulada[editar]

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria está dada por

Si es una variable aleatoria tal que donde (es decir, tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por

Propiedades[editar]

Si es una variable aleatoria tal que entonces satisface algunas propiedades.

Media[editar]

La media de la variable aleatoria es

Varianza[editar]

La varianza de la variable aleatoria es

Momentos[editar]

El -ésimo momento la variable aleatoria es

para .

Función generadora de momentos[editar]

La función generadora de momentos está dada por

para .

Suma de Gammas[editar]

Si para son variables aleatorias independientes entonces

Escala[editar]

Si entonces para cualquier

Media Logarítmica[editar]

Puede demostrarse que

donde es la función digamma.

Cálculo de Probabilidades con R[editar]

Se puede utilizar el paquete estadístico para hallar los valores de la función de densidad y la función de distribución de una variable aleatoria continua .

Función de densidad[editar]

Para , la función de densidad de la distribución Gamma está dada por

entonces para evaluar la función de densidad utilizamos el siguiente código

# d=density function
dgamma(x,α,λ)

Función de Distribución[editar]

La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por

para , se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada

# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)

Distribuciones Relacionadas[editar]

  • Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que entonces , a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gamma cuando el parámetro .
  • Si entonces .
  • Si con entonces .

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]