Distribución χ²

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Distribución χ2 (ji-cuadrado)
Chi-square distributionPDF.png
Función de densidad de probabilidad
Chi-square distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana aproximadamente
Moda si
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) para
Función característica

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución chi cuadrada (también llamada distribución de Pearson o distribución ) con grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

Definición[editar]

Como la suma de normales estándar[editar]

Sean variables aleatorias independientes tales que para entonces la variable aleatoria definida por

tiene una distribución chi cuadrada con grados de libertad.

Notación[editar]

Si la variable aleatoria continua tiene una distribución Chi Cuadrada con grados de libertad entonces escribiremos o .

Función de Densidad[editar]

Si entonces la función de densidad de la variable aleatoria es

para donde es la función gamma.

Función de Distribución Acumulada[editar]

Si entonces su función de distribución está dada por

donde es la función gamma incompleta.

En particular cuando entonces esta función toma la forma

Propiedades[editar]

Si entonces la variable aleatoria satisface algunas propiedades.

Media[editar]

La media de la variable aleatoria es

Varianza[editar]

La varianza de la variable aleatoria es

Función generadora de momentos[editar]

La función generadora de momentos de es

para .

Teorema[editar]

Sea una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución entonces

  1. y el vector son independientes.
  2. y son independientes.
  3. .
  4. y .

donde

y

son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente.

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal[editar]

Intervalo para la varianza[editar]

Sean una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución donde y son desconocidos.

Se tiene que

Sean tales que

siendo entonces

por lo tanto un intervalo de de confianza para está dado por

Distribuciones Relacionadas[editar]

  • La distribución con grados de libertad es un caso particular de la distribución gamma pues si
entonces .

Aplicaciones[editar]

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]