Distribución t de Student

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Distribución t de student
Student densite best.JPG
Función de densidad de probabilidad
T distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf) donde es la función hipergeométrica
Media para , indefinida para otros valores
Mediana
Moda
Varianza para , indefinida para otros valores
Coeficiente de simetría para
Curtosis para
Entropía

  • : función digamma,
  • : función beta
Función generadora de momentos (mgf) (No definida)

En probabilidad y estadística, la distribución (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida.

Fue desarrollada por William Sealy Gosset bajo el pseudónimo “Student”.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Historia[editar]

La distribución de Student fue descrita en el año 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el pseudónimo de “Student”.[1]

Distribución de Student a partir de una muestra aleatoria[editar]

Sea variables aleatorias independientes distribuidas , esto es, es una muestra aleatoria de tamaño proveniente de una población con distribución normal con media y varianza .

Sean

la media muestral y

la varianza muestral entonces la variable aleatoria

sigue una distribución normal estándar (es decir, una distribución normal con media 0 y varianza 1) y la variable aleatoria

donde ha sido sustituido por , tiene una distribución de student con grados de libertad.

Definición[editar]

Notación[editar]

Sean una variable aleatoria continua y , si tiene una distribución con grados de libertad entonces escribiremos o .

Función de densidad[editar]

La distribución -student tiene como función de densidad

para , donde denota los grados de libertad y es la función gamma.

La expresión anterior también suele escribirse como

donde es la función beta.

En particular, para valores enteros de se tiene que

para par

para impar

Función de distribución[editar]

La función de distribución puede ser escrita en términos de , la función beta incompleta.

Para

donde

Una fórmula alternativa, válida para es

donde es un caso particular de la función hipergeométrica.

Casos particulares[editar]

Ciertos valores de dan una forma especial a la función de densidad y de distribución.

Función de densidad:
Función de distribución:
Véase Distribución de Cauchy.
Función de densidad:
Función de distribución:
Función de densidad:
Función de distribución:
Función de densidad:
Véase Distribución normal.
Función de distribución:
Véase Función error.

Propiedades[editar]

Si es una variable aleatoria tal que entonces satisface algunas propiedades.

Media[editar]

La media de para valores es

Varianza[editar]

La varianza de para valores es

Curtosis[editar]

La curtosis de para valores es

Caracterización[editar]

La distribución de Student con grados de libertad puede definirse como la distribución de la variable aleatoria definida por:

donde

Para una constante no nula, el cociente

es una variable aleatoria que sigue la distribución no central de Student con parámetro de no-centralidad .

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal[editar]

Intervalo para la media cuando es desconocida[editar]

Sean una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución donde y son desconocidos.

Se tiene que

y

son independientes entonces el cociente

esto es

Sea tal que

siendo entonces

por lo tanto un intervalo de de confianza para cuando es desconocida es

Distribución de Student generalizada[editar]

En términos del parámetro de escala [editar]

La distribución de Student puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional y un parámetro de escala mediante la relación

o

esto significa que tiene la distribución clásica de Student con grados de libertad.

La resultante distribución de Student no estandarizada tiene por función de densidad:[2]

donde no corresponde a la desviación estándar, esto es, no es la desviación estándar de la distribución escalada , simplemente es parámetro de escala de la distribución.

La distribución puede ser escrita en términos de , el cuadrado del parámetro de escala:

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

En términos del parámetro inverso de escala [editar]

Una parametrización alterna está en términos del parámetro inverso de escala definido mediante la relación . La función de densidad está dada por:[2]

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

Distribuciones relacionadas[editar]

  • Si entonces donde denota la distribución F con y grados de libertad.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Walpole, Roland; Myers, Raymond y Ye, Keying (2002). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education. 
  2. a b c d Jackman, Simon (2009). Bayesian Analysis for the Social Sciences. Wiley. p. 507. 

Enlaces externos[editar]