Distribución t de Student

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Distribución t de Student
Student densite best.JPG
Función de densidad de probabilidad
T distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf) donde es la función hipergeométrica
Media para , indefinida para otros valores
Mediana
Moda
Varianza para , indefinida para otros valores
Coeficiente de simetría para
Curtosis para
Entropía

  • : función digamma,
  • : función beta
Función generadora de momentos (mgf) (No definida)
[editar datos en Wikidata]

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Caracterización[editar]

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student[editar]

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,


es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

donde es igual a n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica.

Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student[editar]

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media: , siendo entonces el intervalo de confianza para la media: .

Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.

para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son:

y para

Historia[editar]

La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudónimo de Student.[1]

Distribución t de Student no estandarizada[editar]

La distribución t puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional y otro de escala . El resultado es una distribución t de Student no estandarizada cuya densidad está definida por:[2]

Equivalentemente, puede escribirse en términos de (correspondiente a la varianza en vez de a la desviación estándar):

Otras propiedades de esta versión de la distribución t son:[2]

Referencias[editar]

  1. Walpole, Roland; Myers, Raymond y Ye, Keying (2002). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education. 
  2. a b Jackman, Simon (2009). Bayesian Analysis for the Social Sciences. Wiley. p. 507. 

Enlaces externos[editar]