Matriz de covarianza

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En estadística y teoría de la probabilidad, la matriz de covarianza es una matriz que contiene la covarianza entre los elementos de un vector. Es la generalización natural a dimensiones superiores del concepto de varianza de una variable aleatoria escalar.

Definición[editar]

Si las entradas del vector-columna

son variables aleatorias, cada una con varianza finita, entonces la matriz de covarianza Σ es la matriz cuya entrada (ij) es la covarianza

donde

es el valor esperado de la entrada i-ésima del vector X. En otras palabras, tenemos

Como una generalización de la varianza[editar]

La anterior definición es equivalente a la igualdad matricial

Por tanto, se entiende que esto generaliza a mayores dimensiones el concepto de varianza de una variable aleatoria escalar X, definida como

donde


Propiedades[editar]

Para y , las siguientes propiedades fundamentales se demuestran correctas:



  1. es semidefinida positiva







  2. Si los vectores y son de igual dimensión, entonces



  3. Si y son independientes, entonces

donde y son vectores aleatorios de dimensión , es un vector aleatorio , es , y son matrices de .

La matriz de covarianza (aunque muy simple) es una herramienta muy útil en varios campos. A partir de ella se puede derivar una transformación lineal que puede de-correlacionar los datos o, desde otro punto de vista, encontrar una base óptima para representar los datos de forma óptima (véase cociente de Rayleigh para la prueba formal y otras propiedades de las matrices de covarianza). Esto se llama análisis del componente principal (PCA por sus siglas en inglés) en estadística , y transformada de Karhunen-Loève en procesamiento de la imagen.


Lecturas avanzadas[editar]