Matriz definida positiva

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En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Definiciones equivalentes[editar]

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector como , y el conjugado transpuesto, . Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1. Para todos los vectores no nulos tenemos que
.

Nótese que es siempre real. El producto anterior, recibe el nombre de Producto Cuántico.

2. Todos los autovalores de son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3. La función

define un producto interno .

4. Todos los determinantes de los menores principales de son positivos. O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo.
  • la superior izquierda de M de dimensión 1x1
  • la superior izquierda de M de dimensión 2x2
  • la superior izquierda de M de dimensión 3x3
  • ...
  • la superior izquierda de M de dimensión (n-1)x(n-1)
  • en sí misma
Para matrices semidefinidas positivas, todos los menores principales tienen que ser no negativos (Criterio de Sylvester).

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza por , y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

Propiedades[editar]

  • Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.
  • Si es una matriz definida positiva y es un número real, entonces es definida positiva.
  • Si y son matrices definidas positivas, entonces la suma también lo es. Además si

, entonces es también definida positiva.

  • Toda matriz definida positiva , tiene al menos una matriz raíz cuadrada tal que .

Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas[editar]

La matriz hermitiana se dice:

  • definida negativa si para todos los vectores ) no nulos
  • semidefinida positiva si para todo ) no nulo.
  • semidefinida negativa si para todo ) no nulo.

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Caso no hermitiano[editar]

Una matriz real M puede tener la propiedad xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

es un ejemplo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si la matriz simétrica (M + MT) / 2, es definida positiva.

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