Función digamma

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Función Digamma en el plano complejo. El color de un punto codifica el valor de .Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemáticas, la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma:

donde denota la función gamma.

La función digamma es la primera de las funciones poligamma.

La función digamma también suele denotarse por , o como .

Relación con los números armónicos[editar]

La función gamma satisface la ecuación

derivando la expresión anterior respecto a obtenemos

dividiendo ambos lados de la igualdad por obtenemos

o

Dado que los números armónicos están definidos para como

la función digamma se relaciona con ellos mediante

donde y es la constante de Euler-Mascheroni.

Representación integral[editar]

Si entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debida a Gauss

combinando esta expresión con una integral que representa la constante de Euler-Mascheroni tenemos

esta integral es el número armónico de Euler por lo que la fórmula anterior puede ser escrita como

Una consecuencia es la siguiente relación de recurrencia

Otra representación integral, debido a Dirichlet, es la siguiente

Representación como un producto[editar]

La función es una función entera y puede ser representada por el producto infinito

donde es el -ésimo cero de y es la constante de Euler-Mascheroni.

Series[editar]

Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma, junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma

o equivalentemente

La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma

donde y son polinomios de grado .

Empleando fracciones parciales en y en el caso en el que las raíces de son raíces simples,

para que la serie converja

en caso contrario la serie diverge. Dado que

y

Con las expansiones en series uno puede obtener

Serie de Taylor[editar]

La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en , esta es

y converge para donde denota la función zeta de Riemann.

Serie de Newton[editar]

La serie de Newton para la función digamma, en ocasiones llamada como serie de Stern, está dada por

donde es el coeficiente binomial. La expresión anterior puede ser generalizada a

donde

Fórmula de reflexión[editar]

La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma,

Teorema digamma de Gauss[editar]

Para con , la función digamma puede ser expresada en términos de la constante de Euler-Mascheroni y un número finito de funciones elementales

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
  • Weisstein, Eric W. «Digamma function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.