Diferencia entre revisiones de «Notación de Coxeter»
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(Sin diferencias)
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Revisión del 18:13 23 ago 2022
, [ ]= [1] C1v |
, [2] C2v |
, [3] C3v |
, [4] C4v |
, [5] C5v |
, [6] C6v |
---|---|---|---|---|---|
Orden 2 |
Orden 4 |
Orden 6 |
Orden 8 |
Orden 10 |
Orden 12 |
[2]= [2,1] D1h |
[2,2] D2h |
[2,3] D3h |
[2,4] D4h |
[2,5] D5h |
[2,6] D6h |
Orden 4 |
Orden 8 |
Orden 12 |
Orden 16 |
Orden 20 |
Orden 24 |
, [3,3], Td | , [4,3], Oh | , [5,3], Ih | |||
Order 24 |
Order 48 |
Order 120 | |||
La notación de Coxeter expresa el grupo de Coxeter como una lista de órdenes de ramas de un diagrama de Coxeter-Dynkin, como grupo poliédrico, = [p,q]. Los grupos diédricos, , se pueden expresar como un producto [ ]×[n] o en un solo símbolo con una rama explícita de orden 2, [2,n]. |
En geometría, la notación de Coxeter (también referida a los símbolos de Coxeter) es un sistema de clasificación de grupos de simetría, que describe los ángulos entre las reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter en una notación entre corchetes que expresa la estructura de un diagrama de Coxeter-Dynkin, con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación lleva el nombre de Harold Scott MacDonald Coxeter y ha sido definida de manera más completa por Norman Johnson.
Grupos reflexivos
Para los grupos de Coxeter, definidos por exclusivamente por operaciones de reflexión, existe una correspondencia directa entre la notación de corchetes y los diagramas de Coxeter-Dynkin. Los números entre paréntesis representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Utiliza la misma simplificación, suprimiendo 2s entre espejos ortogonales.
La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila para un diagrama lineal. Así que el grupo An está representado por [3n−1], para implicar n nodos conectados por ramas n-1 de orden 3. El ejemplo A2 = [3,3] = [32] o [31,1] representa los diagramas o .
Coxeter inicialmente representó diagramas bifurcados con posición vertical de números, pero luego los abrevió con una notación exponencial, como [...,3p,q] o [3p,q,r], comenzando con [31,1,1] o [3,31,1] = o como D4. Coxeter permitió ceros como casos especiales para ajustarse a la familia An, como A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2 ], como = = .
Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] = para grupo triangular (p q r). Si los órdenes de ramificación son iguales, se pueden agrupar como un exponente según la duración del ciclo entre paréntesis, como [(3,3,3,3)] = [3[4]], que representa el diagrama de Coxeter o . se puede representar como [3,(3,3,3)] o [3,3[3]].
Los diagramas de bucle más complicados también se pueden expresar con cuidado. paracompact Coxeter group se puede representar mediante la notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles adyacentes [(3,3,3)], y también se representa de forma más compacta como [3[ ]×[ ]], que representa el rhombic symmetry del diagrama de Coxeter. El diagrama de gráfico completo paracompacto o , se representa como [3[3,3]] con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de coxeter tetraedro.
El diagrama de Coxeter normalmente deja ramas de orden 2 sin dibujar, pero la notación de paréntesis incluye un 2 explícito para conectar los subgráficos. Entonces, el diagrama de Coxeter = A2×A2 = 2A2 se puede representar mediante [3]×[3] = [3]2 = [3,2,3 ]. A veces, las 2 ramas explícitas pueden incluirse con una etiqueta 2 o con una línea con un espacio: o , como una presentación idéntica a [3,2,3].
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Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo sumando un nodo al diagrama de un grupo finito.
Subgrupos
La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional agregando un operador de superíndice + fuera de los corchetes, [X]+ que corta el orden del grupo [X] a la mitad, por lo tanto, un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando reflexiones con rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, se denomina subgrupo directo porque lo que queda son solo isometrías directas sin simetría reflexiva.
Los operadores +' también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como [X,Y+] o [X,(Y,Z)+], y crea subgrupos "semidirectos" que pueden incluyen generadores reflectantes y no reflectantes. Los subgrupos semidirectos solo se pueden aplicar a los subgrupos de grupos de Coxeter que tienen ramas de orden pares adyacentes. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice +, que tiene el efecto de dividir las ramas ordenadas adyacentes en medio orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, [4,3+] y [4,(3,3)+] ().
Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo de índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como [5,1+] = [5/2], que pueden definir polígonos doblemente envueltos como estrella pentagonal, 5 /2, y [5,3+] se relaciona con Schwarz triangle [5/2,3], density 2.
Group | Order | Generators | Subgroup | Order | Generators | Notes | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[p] | 2p | {0,1} | [p]+ | p | {01} | Direct subgroup | ||
[2p+]= [2p]+ | 2p | {01} | [2p+]+= [2p]+2= [p]+ | p | {0101} | |||
[2p] | 4p | {0,1} | [1+,2p]= [p] | = = | 2p | {101,1} | Half subgroups | |
[2p,1+]= [p] | = = | {0,010} | ||||||
[1+,2p,1+]= [2p]+2= [p]+ | = = | p | {0101} | Quarter group |
Los grupos sin elementos vecinos +' se pueden ver en los nodos anillados. El diagrama de Coxeter-Dynkin para uniform polytope y el panal están relacionados con los nodos agujeros alrededor del + elementos, círculos vacíos con los nodos alternados eliminados. Entonces cubo romo, tiene simetría [4,3]+ (), y icosaedro, tiene simetría [4,3+] (), y un tetraedro, h4,3 = 3,3 ( o = ) tiene simetría [1+,4,3] = [3,3] ( o = = ).
Nota: Simetría tetraédrica se puede escribir como , separando el gráfico con espacios para mayor claridad, con los generadores 0,1,2 del grupo de Coxeter , produciendo generadores piritoédricos 0,12, una reflexión y rotación triple . Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como o , [1+,4,3+] = [3,3]+, con generadores 12,0120.
Reducción a la mitad de subgrupos y grupos extendidos
[1,4,1]= [4] |
= = [1+,4,1]=[2]=[ ]×[ ] | |
= = [1,4,1+]=[2]=[ ]×[ ] |
= = = [1+,4,1+]= [2]+ |
Johnson extiende el operador + para trabajar con un marcador de posición 1+ nodos, lo que elimina espejos, duplicando el tamaño del dominio fundamental y cortando el orden del grupo a la mitad.[1] En general, esta operación solo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par. El 1 representa un espejo, por lo que [2p] puede verse como [2p,1], [1,2p] o [1,2p,1], como el diagrama o , con 2 espejos relacionados por un ángulo diedro de orden 2p. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , o entre paréntesis: [1+,2p, 1] = [1,p,1] = [p].
Cada uno de estos espejos se puede quitar para que h[2p] = [1+,2p,1] = [1,2p,1+] = [p], un índice de subgrupo reflexivo 2. Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter agregando un Símbolo + sobre el nodo: = = .
Si se eliminan ambos espejos, se genera un subgrupo de un cuarto, y el orden de la rama se convierte en un punto de giro de la mitad del orden:
- q[2p] = [1+,2p,1+] = [p]+, un subgrupo rotacional de índice 4. = = = = .
Por ejemplo, (con p=2): [4,1+] = [1+,4] = [2] = [ ]×[ ], orden 4. [1+,4,1+] = [2] +, orden 2.
Lo opuesto a reducir a la mitad es duplicar[2], que agrega un espejo, divide en dos un dominio fundamental y duplica el orden del grupo.
- [[p]] = [2p]
Las operaciones de reducción a la mitad se aplican a grupos de mayor rango, como simetría tetraédrica es un medio grupo de simetría octaédrica: h[4,3] = [1+,4,3] = [3,3], eliminando la mitad de los espejos en las 4 ramas. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar todos los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , h[2p,3] = [1+,2p,3] = [(p,3,3)] .
Si los nodos están indexados, la mitad de los subgrupos se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos. Al igual que , los generadores 0,1 tienen un subgrupo = , generadores 1,010, donde se elimina el espejo 0 y se reemplaza por una copia del espejo 1 reflejada en el espejo 0. También dado , generadores 0,1,2 , tiene medio grupo = , generadores 1,2,010.
La duplicación mediante la adición de un espejo también se aplica al invertir la operación de reducción a la mitad: [[3,3]] = [4,3], o más generalmente [[(q,q,p)]] = [2p,q].
Simetría tetraédrica | Simetría octaédrica |
---|---|
Td, [3,3]= [1+,4,3] = = (Order 24) |
Oh, [4,3]= [[3,3]] (Order 48) |
Subgrupos radicales
Johnson también agregó un operador asterisco o estrella * para subgrupos "radicales",[3] que actúa de manera similar al operador +, pero elimina la simetría rotacional. El índice del subgrupo radical es el orden del elemento eliminado. Por ejemplo, [4,3*] ? ??[2,2]. El subgrupo eliminado [3] es de orden 6, por lo que [2,2] es un subgrupo de índice 6 de [4,3].
Los subgrupos radicales representan la operación inversa a una operación extended symmetry. Por ejemplo, [4,3*] ? ??[2,2] y, al revés, [2,2] se puede extender como [3[2,2]] ? [4,3]. Los subgrupos se pueden expresar como un diagrama de Coxeter: o ? . El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.
Si [4,3] tiene generadores 0,1,2, [4,3+], índice 2, tiene generadores 0,12; [1+,4,3] ? [3,3], el índice 2 tiene generadores 010,1,2; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ? ??[2,2], índice 6, tiene generadores 01210, 2, (012)3; y finalmente [1+,4,3*], el índice 12 tiene generadores 0(12)20, (012)201.
Subgrupos triónicos
Un subgrupo triónico es un subgrupo de índice 3. Johnson define un "subgrupo triónico" con el operador ?, índice 3. Para los grupos Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3⅄] es [ ], un solo espejo. Y para [3p], el subgrupo triónico es [3p]⅄ ? [p]. Dado , con generadores 0,1, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar poniendo el símbolo ? junto al generador de espejos a eliminar, o en una rama para ambos: [3p,1⅄] = = , = , y [3p ⅄] = = con generadores 0,10101, 01010,1 o 101,010.
Trionic subgroups of tetrahedral symmetry: [3,3]⅄ ? [2+,4], relacionando la simetría de tetraedro y disfenoide.
Para los grupos de Coxeter de rango 3, [p,3], hay un subgrupo triónico [p,3⅄] ? [p/2,p], o = . Por ejemplo, el grupo finito [4,3⅄] ? [2,4] y el grupo euclidiano [6,3⅄] ? [3,6] y el grupo hiperbólico [8,3⅄] ? [4,8].
Una rama adyacente de orden impar, p, no disminuirá el orden del grupo, sino que creará dominios fundamentales superpuestos. El orden del grupo permanece igual, mientras que el density aumenta. Por ejemplo, el simetría icosaédrica, [5,3], de los poliedros regulares icosaedro se convierte en [5/2,5], la simetría de 2 poliedros regulares en estrella. También relaciona las teselaciones hiperbólicas p,3 y star hyperbolic tilings p/2,p
Para el rango 4, [q,2p,3⅄] = [2p,((p,q,q))], = .
Por ejemplo, [3,4,3⅄] = [4,3,3], o = , generadores 0,1,2,3 en [3,4,3] con el subgrupo triónico [4,3 ,3] generadores 0,1,2,32123. Para grupos hiperbólicos, [3,6,3⅄] = [6,3[3]] y [4,4,3⅄] = [4,4,4].
subgrupo triónicos de simetría tetraédrica
Johnson identificó dos subgrupos triónicos[4] de [3,3], primero un subgrupo de índice 3 [3,3]⅄ ? [2+,4], con [3,3] ( = = ) generadores 0,1,2. También se puede escribir como [(3,3,2⅄)] () como recordatorio de sus generadores 02,1. Esta reducción de simetría es la relación entre el tetraedro regular y el disfenoide, representan un estiramiento de un tetraedro perpendicular a dos aristas opuestas.
En segundo lugar, identifica un subgrupo de índice 6 relacionado [3,3]Δ o [(3,3,2⅄)]+ (), índice 3 de [3,3]+ ? [2,2]+, con generadores 02 ,1021, de [3,3] y sus generadores 0,1,2.
Estos subgrupos también se aplican dentro de grupos de Coxeter más grandes con el subgrupo [3,3] con sucursales vecinas, todo en orden uniforme.
Por ejemplo, [(3,3)+,4], [(3,3)⅄,4] y [(3,3)Δ,4] son ??subgrupos de [3,3,4], índice 2, 3 y 6 respectivamente. Los generadores de [(3,3)⅄,4] ? [[4,2,4]] ? [8,2+,8], orden 128, son 02,1,3 de [3,3,4] generadores 0,1,2 ,3. Y [(3,3)Δ,4] ? [[4,2+,4]], orden 64, tiene generadores 02,1021,3. Además, [3⅄,4,3⅄] ? [(3,3)⅄,4].
También relacionado [31,1,1] = [3,3,4,1+] tiene subgrupos triónicos: [31,1,1]⅄ = [(3,3)⅄,4,1+], orden 64 y 1=[31,1,1]Δ = [( 3,3)Δ,4,1+] ? [[ 4,2+,4]]+, orden 32.
Inversión central
Un simetría central, orden 2, es operativamente diferente por dimensión. El grupo [ ]n = [2n−1] representa n espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio variedad lineal de un espacio dimensional superior. Los espejos del grupo [2n−1] están numerados Plantilla:Tmath. El orden de los espejos no importa en el caso de una inversión. La matriz de una inversión central es Plantilla:Tmath, la matriz Identidad con uno negativo en la diagonal.
A partir de esa base, la inversión central tiene un generador como producto de todos los espejos ortogonales. En la notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa agregando una alternancia + a cada rama 2. La simetría de alternancia está marcada en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.
Un Diagrama de Coxeter-Dynkin se puede marcar con 2 ramas explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos abiertos dobles compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.
Por ejemplo, [2+,2] y [2,2+] son ??subgrupos índice 2 de [2,2], , y se representan como (o ) y (o ) con generadores 01,2 y 0,12 respectivamente. Su índice de subgrupo común 4 es [2+,2+], y está representado por (o ), con el de doble apertura que marca un nodo compartido en las dos alternancias y un solo generador rotación impropia 012.
Dimension | Coxeter notation | Order | Coxeter diagram | Operation | Generator |
---|---|---|---|---|---|
2 | [2]+ | 2 | 180° rotation, C2 | {01} | |
3 | [2+,2+] | 2 | rotación impropia, Ci or S2 | {012} | |
4 | [2+,2+,2+] | 2 | rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional | {0123} | |
5 | [2+,2+,2+,2+] | 2 | double rotary reflection | {01234} | |
6 | [2+,2+,2+,2+,2+] | 2 | triple rotation | {012345} | |
7 | [2+,2+,2+,2+,2+,2+] | 2 | triple rotary reflection | {0123456} |
Rotaciones y reflexiones rotatorias
Las rotaciones y los rotación impropia se construyen mediante un único producto de generador único de todas las reflexiones de un grupo prismático, [2p]×[2q]×... donde gcd(p ,q,...)=1, son isomorfos al abstracto grupo cíclico Zn, de orden n=2pq.
Las dobles rotaciones de 4 dimensiones, [2p+,2+,2q+] (con gcd(p,q)=1), que incluyen un centro grupo, y están expresados ??por Conway como ±[Cp×Cq],[5] orden 2pq. Del diagrama de Coxeter , generadores 0,1,2,3, requiere dos generadores para [2p+,2+,2q+], como 0123,0132. Medios grupos, [2p+,2+,2q+]+, o gráfico cíclico, [(2p+,2+,2q+,2+) ], expresado por Conway es [Cp×Cq], orden pq, con un generador, como 0123.
Si hay un factor común f, la doble rotación se puede escribir como 1⁄f[2pf+,2+,2qf+] (con gcd(p,' 'q)=1), generadores 0123,0132, orden 2pqf. Por ejemplo, p=q=1, f=2, 1⁄2[4+,2+,4+] es el orden 4. Y 1⁄f[2pf+,2+, 2qf+]+, generador 0123, es orden pqf. Por ejemplo, 1⁄2[4+,2+,4+]+ es el pedido 2, un simetría central.
En general, un grupo de rotación n, [2p1+,2,2p2+,2,...,pn+] puede requerir hasta n generadores si gcd(p1,..,pn)>1, como producto de todos los espejos, y luego intercambiando pares secuenciales. El medio grupo, [2p1+,2,2p2+,2,...,pn+]+ tiene generadores al cuadrado. Los reflejos n-rotatorios son similares.
Dimension | Coxeter notation | Order | Coxeter diagram | Operation | Generators | Direct subgroup | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | [2p]+ | 2p | Rotation | {01} | [2p]+2= [p]+ | Simple rotation: [2p]+2= [p]+ order p | |
3 | [2p+,2+] | rotación impropia | {012} | [2p+,2+]+= [p]+ | |||
4 | [2p+,2+,2+] | rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional | {0123} | [2p+,2+,2+]+= [p]+ | |||
5 | [2p+,2+,2+,2+] | double rotary reflection | {01234} | [2p+,2+,2+,2+]+= [p]+ | |||
6 | [2p+,2+,2+,2+,2+] | triple rotation | {012345} | [2p+,2+,2+,2+,2+]+= [p]+ | |||
7 | [2p+,2+,2+,2+,2+,2+] | triple rotary reflection | {0123456} | [2p+,2+,2+,2+,2+,2+]+= [p]+ | |||
4 | [2p+,2+,2q+] | 2pq | double rotation | {0123, 0132} |
[2p+,2+,2q+]+ | Double rotation: [2p+,2+,2q+]+ order pq | |
5 | [2p+,2+,2q+,2+] | double rotary reflection | {01234, 01243} |
[2p+,2+,2q+,2+]+ | |||
6 | [2p+,2+,2q+,2+,2+] | triple rotation | {012345, 012354, 013245} |
[2p+,2+,2q+,2+,2+]+ | |||
7 | [2p+,2+,2q+,2+,2+,2+] | triple rotary reflection | {0123456, 0123465, 0124356, 0124356} |
[2p+,2+,2q+,2+,2+,2+]+ | |||
6 | [2p+,2+,2q+,2+,2r+] | 2pqr | triple rotation | {012345, 012354, 013245} |
[2p+,2+,2q+,2+,2r+]+ | Triple rotation: [2p+,2+,2q+,2+,2r+]+ order pqr | |
7 | [2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+] | triple rotary reflection | {0123456, 0123465, 0124356, 0213456} |
[2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+]+ |
Subgrupos de conmutadores
Los grupos simples con solo elementos de ramificación de orden impar tienen solo un único subgrupo rotacional/traslacional de orden 2, que también es el subgrupo conmutador, ejemplos [3,3]+, [3,5]+, [3,3,3]+ , [3,3,5]+. Para otros grupos de Coxeter con ramas de orden par, el subgrupo del conmutador tiene un índice 2c, donde c es el número de subgráficos desconectados cuando se eliminan todas las ramas de orden par.[6]
Por ejemplo, [4,4] tiene tres nodos independientes en el diagrama de Coxeter cuando se eliminan los '4, por lo que su subgrupo conmutador es el índice 23 y puede tener diferentes representaciones, todas con tres + Operadores : [4+,4+]+, [1+,4,1+,4,1+], [1+,4,4,1+]+, o [(4+,4+,2+)]. Se puede usar una notación general con +c como exponente de grupo, como [4,4]+3.
Subgrupos de ejemplo
Subgrupos de ejemplo de rango 2
Los grupos Grupo diedral con órdenes pares tienen varios subgrupos. Este ejemplo muestra dos espejos generadores de [4] en rojo y verde, y observa todos los subgrupos por reducción a la mitad, reducción de rango y sus subgrupos directos. El grupo [4], tiene dos generadores de espejos 0 y 1. Cada uno genera dos espejos virtuales 101 y 010 por reflexión sobre el otro.
Subgroups of [4] | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Index | 1 | 2 (half) | 4 (Rank-reduction) | ||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter |
[1,4,1]= [4] |
= = [1+,4,1]= [1+,4]= [2] |
= = [1,4,1+]= [4,1+]= [2] |
[2,1+]= [1]= [ ] |
[1+,2]= [1]= [ ] | ||||||
Generators | {0,1} | {101,1} | {0,010} | {0} | {1} | ||||||
Direct subgroups | |||||||||||
Index | 2 | 4 | 8 | ||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter | [4]+ |
= = = [4]+2= [1+,4,1+]= [2]+ |
[ ]+ | ||||||||
Generators | {01} | {(01)2} | {02}= {12}= {(01)4}= {} |
Rango 3 Subgrupos de ejemplos euclidianos
El grupo [4,4] tiene 15 subgrupos de índices pequeños. Esta tabla los muestra todos, con un dominio fundamental amarillo para grupos reflectantes puros y dominios blancos y azules alternos que se emparejan para formar dominios rotacionales. Las líneas especulares cian, roja y verde corresponden a los mismos nodos de color en el diagrama de Coxeter. Los generadores de subgrupos se pueden expresar como productos de los 3 espejos originales del dominio fundamental, 0,1,2, correspondientes a los 3 nodos del diagrama de Coxeter, . Un producto de dos líneas de reflexión que se cruzan hace una rotación, como 012, 12 o 02. La eliminación de un espejo genera dos copias de los espejos vecinos, a través del espejo eliminado, como 010 y 212. Dos rotaciones en serie reducen el orden de rotación a la mitad, como 0101 o (01)2, 1212 o (02)2. Un producto de los tres espejos crea un reflexión deslizada, como 012 o 120.
Small index subgroups of [4,4] | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Index | 1 | 2 | 4 | ||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter |
[1,4,1,4,1]= [4,4] |
[1+,4,4] = |
[4,4,1+] = |
[4,1+,4] = |
[1+,4,4,1+] = |
[4+,4+] | |||||
Generators | {0,1,2} | {010,1,2} | {0,1,212} | {0,101,121,2} | {010,1,212,20102} | {(01)2,(12)2,012,120} | |||||
Orbifold | *442 | *2222 | 22× | ||||||||
Semidirect subgroups | |||||||||||
Index | 2 | 4 | |||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter | [4,4+] |
[4+,4] |
[(4,4,2+)] = |
[4,1+,4,1+] = = |
[1+,4,1+,4] = = | ||||||
Generators | {0,12} | {01,2} | {02,1,212} | {0,101,(12)2} | {(01)2,121,2} | ||||||
Orbifold | 4*2 | 2*22 | |||||||||
Direct subgroups | |||||||||||
Index | 2 | 4 | 8 | ||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter | [4,4]+ = |
[4,4+]+ = |
[4+,4]+ = |
[(4,4,2+)]+ = |
[4,4]+3= [(4+,4+,2+)]= [1+,4,1+,4,1+]= [4+,4+]+ == = = | ||||||
Generators | {01,12} | {(01)2,12} | {01,(12)2} | {02,(01)2,(12)2} | {(01)2,(12)2,2(01)22} | ||||||
Orbifold | 442 | 2222 | |||||||||
Radical subgroups | |||||||||||
Index | 8 | 16 | |||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter | [4,4*] = |
[4*,4] = |
[4,4*]+ = |
[4*,4]+ = | |||||||
Orbifold | *2222 | 2222 |
Subgrupos hiperbólicos de ejemplo
El mismo conjunto de 15 pequeños subgrupos existe en todos los grupos de triángulos con elementos de orden par, como [6,4] en el plano hiperbólico:
Small index subgroups of [6,4] | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Index | 1 | 2 | 4 | ||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter |
[1,6,1,4,1]= [6,4] |
[1+,6,4] = |
[6,4,1+] = |
[6,1+,4] = |
[1+,6,4,1+] = |
[6+,4+] | |||||
Generators | {0,1,2} | {010,1,2} | {0,1,212} | {0,101,121,2} | {010,1,212,20102} | {(01)2,(12)2,012} | |||||
Orbifold | *642 | *443 | *662 | *3222 | *3232 | 32× | |||||
Semidirect subgroups | |||||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter | [6,4+] |
[6+,4] |
[(6,4,2+)] |
[6,1+,4,1+] = = = = |
[1+,6,1+,4] = = = = | ||||||
Generators | {0,12} | {01,2} | {02,1,212} | {0,101,(12)2} | {(01)2,121,2} | ||||||
Orbifold | 4*3 | 6*2 | 2*32 | 2*33 | 3*22 | ||||||
Direct subgroups | |||||||||||
Index | 2 | 4 | 8 | ||||||||
Diagram | |||||||||||
Coxeter | [6,4]+ = |
[6,4+]+ = |
[6+,4]+ = |
[(6,4,2+)]+ = |
[6+,4+]+= [1+,6,1+,4,1+] = = = | ||||||
Generators | {01,12} | {(01)2,12} | {01,(12)2} | {02,(01)2,(12)2} | {(01)2,(12)2,201012} | ||||||
Orbifold | 642 | 443 | 662 | 3222 | 3232 | ||||||
Radical subgroups | |||||||||||
Index | 8 | 12 | 16 | 24 | |||||||
Diagram | |||||||||||
Generators | {0,101,21012,1210121} | {2,121,101020101,0102010, 010101020101010, 10101010201010101} |
|||||||||
Coxeter (orbifold) |
[6,4*] = (*3333) |
[6*,4] (*222222) |
[6,4*]+ = (3333) |
[6*,4]+ (222222) |
Simetría extendida
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
In the Euclidean plane, the , [3[3]] Coxeter group can be extended in two ways into the , [6,3] Coxeter group and relates uniform tilings as ringed diagrams. |
La notación de Coxeter incluye la notación de corchetes dobles, [[X]] para expresar la simetría automorphic dentro de un diagrama de Coxeter. Johnson agregó duplicación alternativa mediante un soporte en ángulo <[X]>. Johnson también agregó un modificador de simetría de prefijo [Y[X]], donde Y puede representar la simetría del diagrama de Coxeter de [X] o la simetría del dominio fundamental de [X].
Por ejemplo, en 3D estos diagramas de geometría equivalentes rectángulo y rhombic de : y , el primero duplicado entre corchetes, [[3[4]]] o duplicado dos veces como [2[3[4]]], con [2], simetría de orden 4 superior. Para diferenciar el segundo, se utilizan paréntesis angulares para doblar, <[3[4]]> y doblar dos veces como <2[3[4]]>, también con diferente [2], simetría de orden 4. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes se puede representar mediante [4[3[4]]], con la simetría de orden 8, [4] de square. Pero al considerar el dominio fundamental disfenoide, la [4] simetría extendida del gráfico cuadrado se puede marcar más explícitamente como [(2+,4)[3[4]]] o [2+,4[3[4]]].
Existe más simetría en los diagramas cíclico y , y de ramificación. tiene una simetría de orden 2n de un gon-n regular, {n}, y está representado por [n[3[n]]]. y están representados por [3[31,1,1]]= [3,4,3] y [3[32,2,2]] respectivamente mientras que por [(3,3)[31,1,1,1]]= [3,3,4,3 ], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular, {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto = [31,1,1,1,1], , contiene la simetría de un pentácoron, {3,3,3}, y por lo tanto está representado por [(3,3,3)[31,1,1,1,1]]= [3,4, 3,3,3].
Un superíndice asterisco * es efectivamente una operación inversa, creando "subgrupos radicales" eliminando espejos conectados de orden impar.[7]
Ejemplos:
Example Extended groups and radical subgroups | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
En cuanto a los generadores, se considera que la doble simetría agrega un nuevo operador que mapea posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, lo que hace que algunos generadores originales sean redundantes. Para grupo espacial 3D y grupos de puntos 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de [[X]], [[X]+], que define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto se parece a [[X]]+, que es el subgrupo quiral de [[X]]. Por ejemplo, los grupos espaciales 3D [[4,3,4]]+ (I432, 211) y [[4,3,4]+] (Pm3n, 223) son subgrupos distintos de [[4,3,4]] (Im3m, 229).
Rango uno grupos
En una dimensión, el grupo bilateral [ ] representa una simetría de un solo espejo, abstracta Dih1 o Z2, simetría order 2. Se representa como un Diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo nodo , . El identity group es el subgrupo directo [ ]+, Z1, orden de simetría 1. El superíndice + simplemente implica que se ignoran los reflejos alternativos del espejo, dejando el grupo de identidad en este caso más simple. Coxeter usó un solo nodo abierto para representar una alternancia, .
Group | Coxeter notation | Diagrama de Coxeter-Dynkin | Order | Description |
---|---|---|---|---|
C1 | [ ]+ | 1 | Identity | |
D2 | [ ] | 2 | Reflection group |
Clasifique dos grupos
En dos dimensiones, el grupo rectangular [2], abstracto D22 o D4, también se puede representar como un producto directo [ ]×[ ], siendo el producto de dos grupos bilaterales, representa dos espejos ortogonales, con diagrama de Coxeter, , con order 4. El 2 en [2] proviene de la linealización de los subgrafos ortogonales en el diagrama de Coxeter, como con orden de ramificación explícito 2. El grupo rómbico, [2]+ ( o ), la mitad del grupo rectangular, la simetría simetría central, Z2, orden 2.
Notación de Coxeter para permitir un marcador de posición 1 para grupos de menor rango, por lo que [1] es lo mismo que [ ], y [1+] o [1]+ es lo mismo que [ ]+ y el diagrama de Coxeter .
El grupo p-gonal completo [p], abstracto grupo diedral D2p, (nonabelian para p>2), de order 2p, es generado por dos espejos en ángulo π' '/p, representada por el diagrama de Coxeter . El subgrupo p-gonal [p]+, grupo cíclico''Zp, de orden p, generado por un ángulo de rotación de π/ pags.
La notación de Coxeter utiliza corchetes dobles para representar una "duplicación" de simetría automorphic al agregar un espejo bisectriz a fundamental domain. Por ejemplo, [[p]] agrega un espejo bisectriz a [p] y es isomorfo a [2p].
En el límite, bajando a una dimensión, se obtiene el grupo completo apeirógonoal cuando el ángulo llega a cero, por lo que [∞], en abstracto, el infinite dihedral group D∞, representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter . El apeirogonal group [∞]+, , de forma abstracta el infinito grupo cíclico Z∞, isomorphic al grupo aditivo de número entero, se genera mediante una única traducción distinta de cero.
En el plano hiperbólico, hay un grupo completo apeirógonoal [iπ/λ] y un subgrupo pseudogonal [iπ/λ]+, . Estos grupos existen en polígonos regulares de lados infinitos, con longitud de borde λ. Los espejos son todos ortogonales a una sola línea.
Example rank 2 finite and hyperbolic symmetries | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Type | Finite | Affine | Hyperbolic | ||||||||
Geometry | ... | ||||||||||
Coxeter | [ ] |
= [2]=[ ]×[ ] |
[3] |
[4] |
[p] |
[∞] |
[∞] |
[iπ/λ] | |||
Order | 2 | 4 | 6 | 8 | 2p | ∞ | |||||
Mirror lines are colored to correspond to Coxeter diagram nodes. Fundamental domains are alternately colored. | |||||||||||
Even images (direct) |
... | ||||||||||
Odd images (inverted) |
|||||||||||
Coxeter | [ ]+ |
[2]+ |
[3]+ |
[4]+ |
[p]+ |
[∞]+ |
[∞]+ |
[iπ/λ]+ | |||
Order | 1 | 2 | 3 | 4 | p | ∞ | |||||
Cyclic subgroups represent alternate reflections, all even (direct) images. |
Group | Intl | Orbifold | Coxeter | Diagrama de Coxeter-Dynkin | Order | Description |
---|---|---|---|---|---|---|
Finite | ||||||
Zn | n | n• | [n]+ | n | Cyclic: n-fold rotations. Abstract group Zn, the group of integers under addition modulo n. | |
D2n | nm | *n• | [n] | 2n | Dihedral: cyclic with reflections. Abstract group Dihn, the grupo diedral. | |
Affine | ||||||
Z∞ | ∞ | ∞• | [∞]+ | ∞ | Cyclic: apeirogonal group. Abstract group Z∞, the group of integers under addition. | |
Dih∞ | ∞m | *∞• | [∞] | ∞ | Dihedral: parallel reflections. Abstract infinite dihedral group Dih∞. | |
Hyperbolic | ||||||
Z∞ | [πi/λ]+ | ∞ | pseudogonal group | |||
Dih∞ | [πi/λ] | ∞ | full pseudogonal group |
Clasifique tres grupos
Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar entre corchetes relacionados con los grupos de Coxeter de rango 3:
Finite groups of isometries in 3-space[2] | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Rotation groups | Extended groups | ||||||||||
Name | Bracket | Orb | Sch | Abstract | Order | Name | Bracket | Orb | Sch | Abstract | Order |
Identity | [ ]+ | 11 | C1 | Z1 | 1 | Bilateral | [1,1]= [ ] | * | D2 | Z2 | 2 |
Central | [2+,2+] | × | Ci | 2×Z1 | 2 | ||||||
Acrorhombic | [1,2]+= [2]+ | 22 | C2 | Z2 | 2 | Acrorectangular | [1,2]= [2] | *22 | C2v | D4 | 4 |
Gyrorhombic | [2+,4+] | 2× | S4 | Z4 | 4 | ||||||
Orthorhombic | [2,2+] | 2* | D1d | Z2×Z2 | 4 | ||||||
Pararhombic | [2,2]+ | 222 | D2 | D4 | 4 | Gyrorectangular | [2+,4] | 2*2 | D2d | D8 | 8 |
Orthorectangular | [2,2] | *222 | D2h | Z2×D4 | 8 | ||||||
Acro-p-gonal | [1,p]+= [p]+ | pp | Cp | Zp | p | Full acro-p-gonal | [1,p]= [p] | *pp | Cpv | D2p | 2p |
Gyro-p-gonal | [2+,2p+] | p× | S2p | Z2p | 2p | ||||||
Ortho-p-gonal | [2,p+] | p* | Cph | Z2×Zp | 2p | ||||||
Para-p-gonal | [2,p]+ | p22 | D2p | D2p | 2p | Full gyro-p-gonal | [2+,2p] | 2*p | Dpd | D4p | 4p |
Full ortho-p-gonal | [2,p] | *p22 | Dph | Z2×D2p | 4p | ||||||
Tetrahedral | [3,3]+ | 332 | T | A4 | 12 | Full tetrahedral | [3,3] | *332 | Td | S4 | 24 |
Pyritohedral | [3+,4] | 3*2 | Th | 2×A4 | 24 | ||||||
Octahedral | [3,4]+ | 432 | O | S4 | 24 | Full octahedral | [3,4] | *432 | Oh | 2×S4 | 48 |
Icosahedral | [3,5]+ | 532 | I | A5 | 60 | Full icosahedral | [3,5] | *532 | Ih | 2×A5 | 120 |
En tres dimensiones, el grupo ortorrómbico completo u ortorrectangular [2,2], de forma abstracta Z23, order 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados ). También se puede representar como producto directo [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:
Primero hay un subgrupo "semidirecto", el grupo ortorrómbico, [2,2+] ( o ), abstractamente Z2×Z2, de orden 4. Cuando el + El superíndice se encuentra dentro de los corchetes, lo que significa que los reflejos generados solo por los espejos adyacentes (como se define en el diagrama de Coxeter, ) se alternan. En general, las órdenes de rama vecinas al nodo +' deben ser pares. En este caso [2,2+] y [2+,2] representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el grupo pararómbico [2,2]+ ( o ), también de orden 4, y finalmente el central group [2+,2+] ( o ) de orden 2.
Luego está el grupo orto-p-gonal completo, [2,p] (), abstractamente Z2×D2p, de orden 4p, que representa dos espejos en un ángulo diedro π/p' ', y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También está representado por el diagrama de Coxeter como .
El subgrupo directo se denomina grupo para-p-gonal, [2,p]+ ( o ), en abstracto D2p, de orden 2p, y otro subgrupo es [2,p+] () en abstracto Z2 ×Zp, también de orden 2p.
El grupo giro-p-gonal completo, [2+,2p] ( o ), en abstracto D4p, de orden 4p. El grupo giro-p-gonal, [2+,2p+] ( o ), abstractamente Z2p, de orden 2p es un subgrupo de ambos [2+,2 p] y [2,2p+].
Los grupo poliédrico se basan en la simetría de los sólidos platónicos: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro, con Símbolo de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y { 5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () llamados simetría tetraédrica, simetría octaédrica y simetría icosaédrica completos, con órdenes de 24, 48 y 120.
En todas estas simetrías, los reflejos alternos se pueden eliminar produciendo los grupos rotacionales tetraédricos [3,3]+(), octaédricos [3,4]+ () e icosaédricos [3,5]+ () de orden 12 , 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo único de índice 2 llamado grupo simetría tetraédrica, [3+,4] ( o ), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y reflexiva. La simetría piritoédrica también es un subgrupo de índice 5 de simetría icosaédrica: --> , con un espejo virtual 1 a través de 0', {010} y rotación triple {12}.
El grupo tetraédrico, [3,3] (), tiene un [[3,3]] duplicado (que se puede representar con nodos coloreados ), mapeando el primer y el último espejo entre sí, y esto produce el [3,4] ( o grupo ). El subgrupo [3,4,1+] ( o ) es igual a [3,3] y [3+,4,1+] ( o ) es igual a [3,3]+.
Example rank 3 finite Coxeter groups subgroup trees | |
---|---|
Simetría tetraédrica | Simetría octaédrica |
Simetría icosaédrica | |
Finite (grupos de puntos en tres dimensiones) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
Afín
En el plano euclidiano hay 3 grupos fundamentales de reflexión generados por 3 espejos, representados por los diagramas de Coxeter , y , y reciben la notación de Coxeter como [4,4], [6,3] y [(3,3, 3)]. Los paréntesis del último grupo implican el ciclo del diagrama y también tiene una notación abreviada [3[3]].
[[4,4]] como una duplicación del grupo [4,4] produjo la misma simetría girada π/4 desde el conjunto original de espejos.
Los subgrupos directos de simetría rotacional son: [4,4]+, [6,3]+ y [(3,3,3)]+. [4+,4] y [6,3+] son subgrupos semidirectos.
|
|
Dado en notación de Coxeter (orbifold notation), algunos subgrupos afines de bajo índice son:
Reflective group |
Reflective subgroup |
Mixed subgroup |
Rotation subgroup |
Rotación impropia/ traducción |
Commutator subgroup |
---|---|---|---|---|---|
[4,4], (*442) | [1+,4,4], (*442) [4,1+,4], (*2222) [1+,4,4,1+], (*2222) |
[4+,4], (4*2) [(4,4,2+)], (2*22) [1+,4,1+,4], (2*22) |
[4,4]+, (442) [1+,4,4+], (442) [1+,4,1+4,1+], (2222) |
[4+,4+], (22×) | [4+,4+]+, (2222) |
[6,3], (*632) | [1+,6,3]= [3[3]], (*333) | [3+,6], (3*3) | [6,3]+, (632) [1+,6,3+], (333) |
[1+,6,3+], (333) |
Clasifique cuatro grupos
Subgroup relations |
Grupos de puntos
Los cuatro grupos de rango definieron los grupo puntual de 4 dimensiones:
Grupos finitos | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
Subgrupos
1D-4D reflective point groups and subgroups | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Order | Reflection | Semidirect subgroups |
Direct subgroups |
Commutator subgroup | |||||||
2 | [ ] | [ ]+ | [ ]+1 | [ ]+ | |||||||
4 | [2] | [2]+ | [2]+2 | ||||||||
8 | [2,2] | [2+,2] | [2+,2+] | [2,2]+ | [2,2]+3 | ||||||
16 | [2,2,2] | [2+,2,2] [(2,2)+,2] |
[2+,2+,2] [(2,2)+,2+] [2+,2+,2+] |
[2,2,2]+ [2+,2,2+] |
[2,2,2]+4 | ||||||
[21,1,1] | [(2+)1,1,1] | ||||||||||
2n | [n] | [n]+ | [n]+1 | [n]+ | |||||||
4n | [2n] | [2n]+ | [2n]+2 | ||||||||
4n | [2,n] | [2,n+] | [2,n]+ | [2,n]+2 | |||||||
8n | [2,2n] | [2+,2n] | [2+,2n+] | [2,2n]+ | [2,2n]+3 | ||||||
8n | [2,2,n] | [2+,2,n] [2,2,n+] |
[2+,(2,n)+] | [2,2,n]+ [2+,2,n+] |
[2,2,n]+3 | ||||||
16n | [2,2,2n] | [2,2+,2n] | [2+,2+,2n] [2,2+,2n+] [(2,2)+,2n+] [2+,2+,2n+] |
[2,2,2n]+ [2+,2n,2+] |
[2,2,2n]+4 | ||||||
[2,2n,2] | [2+,2n+,2+] | ||||||||||
[2n,21,1] | [2n+,(2+)1,1] | ||||||||||
24 | [3,3] | [3,3]+ | [3,3]+1 | [3,3]+ | |||||||
48 | [3,3,2] | [(3,3)+,2] | [3,3,2]+ | [3,3,2]+2 | |||||||
48 | [4,3] | [4,3+] | [4,3]+ | [4,3]+2 | |||||||
96 | [4,3,2] | [(4,3)+,2] [4,(3,2)+] |
[4,3,2]+ | [4,3,2]+3 | |||||||
[3,4,2] | [3,4,2+] [3+,4,2] |
[(3,4)+,2+] | [3+,4,2+] | ||||||||
120 | [5,3] | [5,3]+ | [5,3]+1 | [5,3]+ | |||||||
240 | [5,3,2] | [(5,3)+,2] | [5,3,2]+ | [5,3,2]+2 | |||||||
4pq | [p,2,q] | [p+,2,q] | [p,2,q]+ [p+,2,q+] |
[p,2,q]+2 | [p+,2,q+] | ||||||
8pq | [2p,2,q] | [2p,(2,q)+] | [2p+,(2,q)+] | [2p,2,q]+ | [2p,2,q]+3 | ||||||
16pq | [2p,2,2q] | [2p,2+,2q] | [2p+,2+,2q] [2p+,2+,2q+] [(2p,(2,2q)+,2+)] |
- |
[2p,2,2q]+ | [2p,2,2q]+4 | |||||
120 | [3,3,3] | [3,3,3]+ | [3,3,3]+1 | [3,3,3]+ | |||||||
192 | [31,1,1] | [31,1,1]+ | [31,1,1]+1 | [31,1,1]+ | |||||||
384 | [4,3,3] | [4,(3,3)+] | [4,3,3]+ | [4,3,3]+2 | |||||||
1152 | [3,4,3] | [3+,4,3] | [3,4,3]+ [3+,4,3+] |
[3,4,3]+2 | [3+,4,3+] | ||||||
14400 | [5,3,3] | [5,3,3]+ | [5,3,3]+1 | [5,3,3]+ |
Grupos espaciales
Space groups | ||
---|---|---|
Affine isomorphism and correspondences |
8 cubic space groups as extended symmetry from [3[4]], with square Coxeter diagrams and reflective fundamental domains |
35 cubic space groups in International, Fibrifold notation, and Coxeter notation |
Grupos de rango cuatro como grupos espaciales tridimensionales | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
Grupos de línea
Los grupos de rango cuatro también definieron los line group tridimensionales:
Semiaffine (3D) groups | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Point group | Line group | ||||||||||
Hermann-Mauguin | Schönflies | Hermann-Mauguin | Offset type | Wallpaper | Coxeter [∞h,2,pv] | ||||||
Even n | Odd n | Even n | Odd n | IUC | Orbifold | Diagram | |||||
n | Cn | Pnq | Helical: q | p1 | o | [∞+,2,n+] | |||||
2n | n | S2n | P2n | Pn | None | p11g, pg(h) | ×× | [(∞,2)+,2n+] | |||
n/m | 2n | Cnh | Pn/m | P2n | None | p11m, pm(h) | ** | [∞+,2,n] | |||
2n/m | C2nh | P2nn/m | Zigzag | c11m, cm(h) | *× | [∞+,2+,2n] | |||||
nmm | nm | Cnv | Pnmm | Pnm | None | p1m1, pm(v) | ** | [∞,2,n+] | |||
Pncc | Pnc | Planar reflection | p1g1, pg(v) | ×× | [∞+,(2,n)+] | ||||||
2nmm | C2nv | P2nnmc | Zigzag | c1m1, cm(v) | *× | [∞,2+,2n+] | |||||
n22 | n2 | Dn | Pnq22 | Pnq2 | Helical: q | p2 | 2222 | [∞,2,n]+ | |||
2n2m | nm | Dnd | P2n2m | Pnm | None | p2mg, pmg(h) | 22* | [(∞,2)+,2n] | |||
P2n2c | Pnc | Planar reflection | p2gg, pgg | 22× | [+(∞,(2),2n)+] | ||||||
n/mmm | 2n2m | Dnh | Pn/mmm | P2n2m | None | p2mm, pmm | *2222 | [∞,2,n] | |||
Pn/mcc | P2n2c | Planar reflection | p2mg, pmg(v) | 22* | [∞,(2,n)+] | ||||||
2n/mmm | D2nh | P2nn/mcm | Zigzag | c2mm, cmm | 2*22 | [∞,2+,2n] |
Grupo duoprismático
Extended duoprismatic symmetry |
---|
Extended duoprismatic groups, [p]×[p] or [p,2,p] or , expressed in relation to its disfenoide fundamental domain symmetry. |
Los grupos de rango cuatro definieron los grupos duoprismáticos de 4 dimensiones. En el límite cuando p y q van al infinito, degeneran en 2 dimensiones y los grupos de papel tapiz.
Duoprismatic groups (4D) | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Wallpaper | Coxeter [p,2,q] |
Coxeter [[p,2,p]] |
Wallpaper | ||||||||
IUC | Orbifold | Diagram | IUC | Orbifold | Diagram | ||||||
p1 | o | [p+,2,q+] | [[p+,2,p+]] | p1 | o | ||||||
pg | ×× | [(p,2)+,2q+] | - | ||||||||
pm | ** | [p+,2,q] | - | ||||||||
cm | *× | [2p+,2+,2q] | - | ||||||||
p2 | 2222 | [p,2,q]+ | [[p,2,p]]+ | p4 | 442 | ||||||
pmg | 22* | [(p,2)+,2q] | - | ||||||||
pgg | 22× | [+(2p,(2),2q)+] | [[+(2p,(2),2p)+]] | cmm | 2*22 | ||||||
pmm | *2222 | [p,2,q] | [[p,2,p]] | p4m | *442 | ||||||
cmm | 2*22 | [2p,2+,2q] | [[2p,2+,2p]] | p4g | 4*2 |
Grupos de papel tapiz
Los grupos de rango cuatro también definieron algunos de los grupo del papel pintado bidimensionales, como casos límite de los grupos de duoprisma de cuatro dimensiones:
Affine (2D plane) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Los subgrupos de [8,2,8], (*2222) se pueden expresar hasta su subgrupo de conmutador de índice 16:
Subgroups of [∞,2,∞] | |||||||||||
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Reflective group |
Reflective subgroup |
Mixed subgroup |
Rotation subgroup |
Rotación impropia/ traducción |
Commutator subgroup | ||||||
[∞,2,∞], (*2222) | [1+,∞,2,∞], (*2222) | [∞+,2,∞], (**) | [∞,2,∞]+, (2222) | [∞,2+,∞]+, (°) [∞+,2+,∞+], (°) [∞+,2,∞+], (°) [∞+,2+,∞], (*×) [(∞,2)+,∞+], (××) [((∞,2)+,(∞,2)+)], (22×) |
[(∞+,2+,∞+,2+)], (°) | ||||||
[∞,2+,∞], (2*22) [(∞,2)+,∞], (22*) |
Reflexiones complejas
La notación de Coxeter se ha ampliado a Complex space, Cn, donde los nodos son unitary reflection del período 2 o superior. Los nodos están etiquetados por un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se suprime. Los Complex reflection group se denominan Shephard group en lugar de Grupo de Coxeter y se pueden utilizar para construir complex polytope.
En , un grupo de pastores de rango 1 , orden p, se representa como p[ ], [ ]p o ]p[. Tiene un solo generador, representando una rotación de 2π/p radianes en el Plano complejo: .
Coxeter escribe el grupo complejo de rango 2, p[q]r representa Diagrama de Coxeter-Dynkin . La p y la r solo deben suprimirse si ambas son 2, que es el caso real [q]. El orden de un grupo de rango 2 p[q]r es .[9]
Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son: p[4]2 (p es 2,3,4,...), 3[3]3 , 3[6]2, 3[4]3, 4[3]4, 3[8]2, 4 (045)[6]2, 4[4]3, 3[5]3, 5[3]5, 3 )[10]2, 5[6]2 y 5[4]3 con diagramas de Coxeter , , , , , , , , , , , , .
Los grupos infinitos son 3[12]2, 4[8]2, 6[6]2, 3[6]3, 6[4]3, 4[4]4 y 6[3]6 o , , , , , , .
Los subgrupos del índice 2 existen al eliminar un reflejo real: p[2q]2 → p[q]p. También existen subgrupos de índice r para 4 ramas: p[4]r → p[r]p.
Para la familia infinita p[4]2, para cualquier p= 2, 3, 4,..., hay dos subgrupos: p[4]2 → [p], índice p, while y p[4]2 → p[ ]×p[ ], índice 2.
Cálculo con matrices de reflexión como generadores de simetría
Un grupo de Coxeter, representado por Diagrama de Coxeter-Dynkin , recibe la notación de Coxeter [p,q] para las órdenes de rama. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, por convención llamado ?i (y matriz Ri). Los generadores de este grupo [p,q] son ??reflexiones: ?0, ?1 y ?2. La subsimetría rotacional se da como productos de reflexiones: Por convención, s0,1 (y la matriz S0,1)= ?0?1 representa una rotación del ángulo p/p, y s1,2= ?1?2 es una rotación del ángulo p/q, y s0,2= ?0?2 representa una rotación de ángulo p/2.
[p,q]+, , es un subgrupo de índice 2 representado por dos generadores de rotación, cada uno de los cuales es producto de dos reflexiones: s0,1, s1,2, y representa rotaciones de p/p y p/q' ' ángulos respectivamente.
Con una rama par, [p+,2q], o , es otro subgrupo de índice 2, representado por el generador de rotación s0,1, y reflexivo ?2.
Con ramas pares, [2p+,2q+], , es un subgrupo de índice 4 con dos generadores, construido como un producto de las tres matrices de reflexión: Por convención como: ?0,1,2 y ?1,2,0, que son rotación impropia, que representan una reflexión y una rotación o reflexión.
En el caso de grupos afines de Coxeter como o , un espejo, generalmente el último, se traslada fuera del origen. Un generador translation t0,1 (y una matriz T0,1) se construye como el producto de dos (o un número par de) reflejos, incluido el reflejo afín. Un reflexión deslizada (reflexión más traslación) puede ser el producto de un número impar de reflexiones f0,1,2 (y matriz V0,1,2), como el subgrupo de índice 4 : [4+,4+]= .
Otro generador compuesto, por convención como ? (y matriz Z), representa el inversion, asignando un punto a su inversa. Para [4,3] y [5,3], ?= (?0?1?2)h/2, donde h es 6 y 10 respectivamente, el Coxeter number para cada familia. Para el grupo de Coxeter 3D [p,q] (), este subgrupo es un reflejo giratorio [2+,h+].
Los grupos de Coxeter se clasifican por su rango, siendo el número de nodos en su Diagrama de Coxeter-Dynkin. La estructura de los grupos también se proporciona con sus tipos de grupos abstractos: en este artículo, los grupo diedral abstractos se representan como Dihn, y los grupo cíclico se representan como Zn, con Dih1 =Z2.
Rango 2
Grupo diedrals | Grupo cíclicos |
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[2] |
[2]+ |
[3] |
[3]+ |
[4] |
[4]+ |
[6] |
[6]+ |
Ejemplo, en 2D, el grupo de Coxeter [p] () está representado por dos matrices de reflexión R0 y R1, la simetría cíclica [p]+ () está representada por el generador de rotación de la matriz S0,1 .
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Rango 3
Los grupos de Coxeter de rango finito 3 son [1,p], [2,p], [3,3], [3,4] y [3,5].
Reflejar un punto a través de un plano (que pasa por el origen), se puede usar , donde es la matriz identidad 3×3 y es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si el Norma vectorial de y es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:
[p,2]
El grupo reflexivo finito tridimensional reducible es grupo diedral, [p,2], orden 4p, . Los generadores de reflexión son las matrices R0, R1, R2. R02=R12=R22=(R0×R1)3=(R1×R2)3=(R0×R2)2=Identidad. [p,2]+ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S0,1, S1,2 y S0,2. Una orden p rotación impropia es generada por V0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.
Reflections | Rotation | Rotoreflection | |||||
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Name | R0 | R1 | R2 | S0,1 | S1,2 | S0,2 | V0,1,2 |
Group | |||||||
Order | 2 | 2 | 2 | p | 2 | 2p | |
Matrix |
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[3,3]
El grupo reflexivo finito tridimensional irreducible más simple es simetría tetraédrica, [3,3], orden 24, . Los generadores de reflexión, a partir de una construcción D3=A3, son las matrices R0, R1, R2. R02=R12=R22=(R0×R1)3=(R1×R2)3=(R0×R2)2=Identidad. [3,3]+ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S0,1, S1,2 y S0,2. Un trionic subgroup, isomorfo a [2+,4], orden 8, es generado por S0,2 y R1. Vrotación impropia genera una orden 4 0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.
Reflections | Rotations | Rotoreflection | |||||
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Name | R0 | R1 | R2 | S0,1 | S1,2 | S0,2 | V0,1,2 |
Name | |||||||
Order | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | |
Matrix |
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(0,1,−1)n | (1,−1,0)n | (0,1,1)n | (1,1,1)axis | (1,1,−1)axis | (1,0,0)axis |
[4,3]
Otro grupo reflexivo finito tridimensional irreducible es simetría octaédrica, [4,3], orden 48, . Las matrices generadoras de reflexión son R0, R1, R2. R02=R12=R22=(R0×R1)4=(R1×R2)3=(R0×R2)2=Identidad. La simetría octaédrica quiral, [4,3]+, () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S0,1, S1,2 y S0,2. Simetría tetraédrica [4,3+], () se genera mediante la reflexión R0 y la rotación S1,2. Vrotación impropia genera un 0,1,2 de 6 veces, el producto de los 3 reflejos.
Reflections | Rotations | Rotoreflection | |||||
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Name | R0 | R1 | R2 | S0,1 | S1,2 | S0,2 | V0,1,2 |
Group | |||||||
Order | 2 | 2 | 2 | 4 | 3 | 2 | 6 |
Matrix |
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(0,0,1)n | (0,1,−1)n | (1,−1,0)n | (1,0,0)axis | (1,1,1)axis | (1,−1,0)axis |
[5,3]
Un grupo reflexivo finito tridimensional irreducible final es simetría icosaédrica, [5,3], orden 120, . Las matrices generadoras de reflexión son R0, R1, R2. R02=R12=R22=(R0×R1)5=(R1×R2)3=(R0×R2)2=Identidad. [5,3]+ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S0,1, S1,2 y S0,2. Vrotación impropia genera un 0,1,2 de 10 veces, el producto de los 3 reflejos.
Reflections | Rotations | Rotoreflection | |||||
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Name | R0 | R1 | R2 | S0,1 | S1,2 | S0,2 | V0,1,2 |
Group | |||||||
Order | 2 | 2 | 2 | 5 | 3 | 2 | 10 |
Matrix | |||||||
(1,0,0)n | (φ,1,φ−1)n | (0,1,0)n | (φ,1,0)axis | (1,1,1)axis | (1,0,0)axis |
Rango 4
Plantilla:See Hay 4 Grupo de Coxeter irreducibles en 4 dimensiones: [3,3,3], [4,3,3], [31,1,1], [3,4,4], [5,3,3], así como un infinito familia de grupos duoprismáticos [p,2,q].
[p,2,q]
El grupo duprismático, [p,2,q], tiene orden 4pq.
[[ p,2,p]]El grupo duoprismático puede duplicarse en orden, hasta 8p2, con una rotación de 2 veces entre los dos planos.
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