Traslación (geometría)

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Una traslación desplaza cada punto de una figura o espacio la misma cantidad en una determinada dirección.
Una reflexión respecto un eje seguida de otra reflexión respecto a otro eje paralelo al primero es equivalente a una traslación.

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector , tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:

Definición de traslaciones[editar]

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualquier punto P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

Más aún se cumple que:

Notas:

  1. La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
  2. La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

Representación matricial[editar]

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas como w = (wx, wy, wz, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento

Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente representan traslaciones.

Generalización[editar]

Véase también[editar]