Simetría central

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La simetría respecto de un punto se llama simetría central y los puntos correspondientes, homólogos. En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto del centro de simetría O cuando OP = OP', esto es P y P' equidistan del centro de simetría.[1]

Ejemplo 1:

Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.

Ejemplo1.JPG

Propiedades[editar]

  • La imagen simétrica central de un segmento es otro segmento de igual longitud; si en el centro de simetría está en un segmento simetrizable, es simétrico de sí mismo, llamado punto doble
  • La imagen de un triángulo, mediante simetría central, es otro triángulo congruente con el primero.
  • La imagen de un polígono, mediante simetría central, es otro polígono congruente con el primero.
  • Los polígonos regulares con un número par de lados tienen como centro de simetría su centro geométrico (baricentro); de modo que a cualquier punto de este polígono, le corresponde un homólogo que está en el mismo polígono.[2]


Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:

  • A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
  • La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’

Simetría central y coordenadas[editar]

Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.

Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:

Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).

Coordenadas de los puntos Coordenadas de sus simétricos
A=(3, 1) A=(-3, -1)
B=(1, 2) B=(-1, -2)
C=(2, -1) C=(-2, 1)

Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto de origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.

Las ecuaciones de la simetría central son:

x’ = -x, y’ = -y

En el espacio tridimensional[editar]

  • Dado un punto P(x, y, z) y centro de simetría el origen de coordenadas el simétrico de P es el punto P' (-x, -y, -z)
  • Dado un punto P ( en el plano o en el espacio ℝ3 ) y el centro de simetría Q, se hallan las coordenadas del simétrico P', mediante la ecuación de vectores

2Q = P + P', o bien:

P' = 2Q - P, igualando las coordenadas hómólogas, generizable a cualquier espacio euclídeo.[3]

Composición de simetrías[editar]

Con el mismo centro[editar]

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura.

Con distinto centro[editar]

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

Referencias y fundamentos[editar]

  1. Moise. Downs: "Geometría Moderna"
  2. Moise. Downs: Ibídem
  3. Lehmann: "Geometría analítica"