Simetría central

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La simetría respecto de un punto se llama simetría central y los puntos correspondientes, homólogos. En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto del centro de simetría O cuando OP = OP', esto es P y P' equidistan del centro de simetría.[1]

Ejemplo 1:

Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.

Ejemplo1.JPG

Propiedades[editar]

  • La imagen simétrica central de un segmento es otro segmento de igual longitud; si en el centro de simetría está en un segmento simetrizable, es simétrico de sí mismo, llamado punto doble
  • La imagen de un triángulo, mediante simetría central, es otro triángulo congruente con el primero.
  • La imagen de un polígono, mediante simetría central, es otro polígono congruente con el primero.
  • Los polígonos regulares con un número par de lados tienen como centro de simetría su centro geométrico (baricentro); de modo que a cualquier punto de este polígono, le corresponde un homólogo que está en el mismo polígono.[2]
  • El centro de un triángulo equilátero no es centro de simetría, en el sentido de que reproduzca la misma figura; por decir el homólogo de un vértice sale del lado opuesto. La misma situación en el caso de un tetraedro regular, su centro geométrico no es centro de simetría.[3]
  • El centro de un cuadrado es centro de simetría de la figura; de igual manera, el centro de un cubo es centro de simetría del sólido. El centro de la esfera lo es también centro de simetría.

Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:

  • A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
  • La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’

Simetría central y coordenadas[editar]

Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.

Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:

Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).

Coordenadas de los puntos Coordenadas de sus simétricos
A=(3, 1) A=(-3, -1)
B=(1, 2) B=(-1, -2)
C=(2, -1) C=(-2, 1)

Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto de origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.

Las ecuaciones de la simetría central son:

x’ = -x, y’ = -y

En el espacio tridimensional[editar]

  • Dado un punto P(x, y, z) y centro de simetría el origen de coordenadas el simétrico de P es el punto P' (-x, -y, -z)
  • Dado un punto P ( en el plano o en el espacio ℝ3 ) y el centro de simetría Q, se hallan las coordenadas del simétrico P', mediante la ecuación de vectores

2Q = P + P', o bien:

P' = 2Q - P, igualando las coordenadas hómólogas, generizable a cualquier espacio euclídeo.[4]

Composición de simetrías[editar]

Con el mismo centro[editar]

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura.

Con distinto centro[editar]

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

Referencias y fundamentos[editar]

  1. Moise. Downs: "Geometría Moderna"
  2. Moise. Downs: Ibídem
  3. Moise. Downs: la misma obra
  4. Lehmann: "Geometría analítica"