Traslación (geometría)

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Una traslación desplaza cada punto de una figura o espacio la misma cantidad en una determinada dirección.
Una reflexión respecto un eje seguida de otra reflexión respecto a otro eje paralelo al primero es equivalente a una traslación.

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector \vec{u}, tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:

\begin{cases} T_\vec{u}:\R^n \to \R^n & \overrightarrow{PP'} = \vec{u}\\ 
P\mapsto P'=T(P)=P+\vec{u} \end{cases}

Definición de traslaciones[editar]

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualquier punto P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

d(P,Q) = d(T(P),T(Q)) = d(P',Q')\;

Más aún se cumple que:

\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{P'Q'}

Notas:

  1. La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
  2. La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

Representación matricial[editar]

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas comow = (wx, wy, wz, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

 T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

 T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1
\end{bmatrix}
= \mathbf{p} + \mathbf{v} . \!

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento

 T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!

Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

 T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} . \!

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente representan traslaciones.

Generalización[editar]

Véase también[editar]